한수학

σ-field (sigma field)는 공집합이 아니면서 가산번의 합집합 (countable union), 가산번의 교집합 (countable intersection) 그리고 여집합에 대해 닫혀있는 집합 S의 부분집합의 모임을 뜻합니다. 집합 S의 부분집합의 모임 A가 σ-field가 되는 필요충분 조건은 다음과 같습니다. 1 ) S ∈ A 2 ) A ∈ A 이면 A의 여집합도 A에 포함 3 ) A1, A2, A3, … ∈ A 이면 A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … ∈ A 집합의 모임 A가 σ-field임을 보일때 위의 조건을 만족하는것을 보이는것이 σ-field의 정의를 체크하는 것에 비해서 쉽기 때문에 위 조건을 활용하게 됩니다. 위 조건이 σ-field가 되는 필요충분조건임을 증명해보겠습니다. ⅰ) ..

field는 공집합이 아니면서 유한번의 합집합 (finite union), 유한번의 교집합 (finite intersection) 그리고 여집합에 대해 닫혀있는 집합 S의 부분집합의 모임을 뜻합니다. 집합 S의 부분집합의 모임 A가 field가 되는 필요충분 조건은 다음과 같습니다. 1 ) S ∈ A 2 ) A ∈ A 이면 A의 여집합도 A에 포함 3 ) A, B ∈ A 이면 A ∪ B ∈ A 집합의 모임 A가 field임을 보일때 위의 조건을 만족하는것을 보이는것이 field의 정의를 체크하는 것에 비해서 쉽기 때문에 위 조건을 활용하게 됩니다. 위 조건이 field가 되는 필요충분조건임을 증명해보겠습니다. ⅰ) 정의 => 조건 우선 A가 field의 정의를 만족할때 위의 조건을 만족함을 보이겠습니다...

유한번의 합집합 또는 교집합은 말 그대로 합집합 또는 교집합을 유한번 하는 것입니다. 자연수 n에 대해서 또는 로 표현되는 경우를 말합니다. 예를들어 집합의 모임 A가 유한번의 합집합에 대해 닫혀있다는 말은 A의 원소 중 유한개를 뽑아서 합집합을 하면 A에 포함된다는 뜻입니다. 가산번의 합집합 또는 교집합은 말 그대로 합집합 또는 교집합을 가산번 하는 것입니다. 또는 로 표현되는 경우를 말합니다. 예를들어 집합의 모임 A가 가산번의 합집합에 대해 닫혀있다는 말은 A의 원소를 가산적으로 무한개 (countably infinite)를 뽑아서 합집합을 해도 A에 포함된다는 뜻입니다. 집합의 수열 A1, A2, A3, …를 잡을때 같은 집합을 잡을 수도 있습니다. 예를들어 A=A1, B=A2=A3=…

필요한 내용을 찾으실때는 블로그 오른쪽 상단에 있는 태그나 검색창을 이용하시면 됩니다. 블로그 내용이 한글로 쓰여있다보니 한글 키워드로 검색하시면 꽤 많이 나오기 때문에 영어로 검색하시는 것이 찾기 쉽습니다. 예를들어 수열의 정의가 궁금하실때 "수열"로 검색하면 수열에 관계된 모든 내용이 나오는 반면 "sequence"로 검색하면 몇개 나오지 않아 쉽게 찾으실 수 있습니다.

수학 용어 사용에 있어서 한글로 충분이 정착된 용어는 예 : 집합, 부분집합, 합집합, 등 한글로 쓰고 경우에 따라 영어를 괄호안에 넣도록 하겠습니다. 한글로 번역되지 않았거나 번역어가 거의 사용되지 않는 경우는 영어로 쓰도록 하겠습니다. 예 : pairwise disjoint, 등 한글로 번역이 되어 있어도 책마다 번역이 다르게 되어있어 한글을 사용하는것이 혼란을 주는 경우는 영어를 중심으로 하되 한글도 적도록 하겠습니다.

field 혹은 algebra는 공집합이 아니면서 유한번의 합집합 (finite union), 유한번의 교집합 (finite intersection) 그리고 여집합에 대해 닫혀있는 집합 S의 부분집합의 모임을 뜻합니다. 그리고 σ-field (sigma field) 혹은 σ-algebra (sigma algebra)는 공집합이 아니면서 가산번의 합집합 (countable union), 가산번의 교집합 (countable intersection) 그리고 여집합에 대해 닫혀있는 집합 S의 부분집합의 모임을 뜻합니다. 참고 : 유한번 (finite) / 가산번 (countable)의 합집합 혹은 교집합 집합의 모임 (collection of sets)이 닫혀있다 (closure) 집합 S의 부분집합의 모임 A..

C가 집합의 모임일때 C의 모든 원소에 대해 집합의 연산을 한 결과가 C에 포함되면 C는 그 연산에 대해서 닫혀있다고 합니다. 예를들어 C = { {1}, {2} }라고 두면 {1} ∪ {2} = {1,2}∉C 이므로 C는 합집합에 대해서 닫혀있지 않지만 C = { {1}, {2}, {1,2} }라고 두면 합집합에 대해 닫혀있게됩니다.

집합 U의 멱집합은 U의 모든 부분집합의 집합을 뜻합니다. 예를들어 U = { 1, 2 }이면 = { {}, {1}, {2}, {1,2} }가 됩니다. 기호는 P(U), , 등을 씁니다. 참고로 는 weierstrass P입니다.

전체 확률의 법칙은 한 사건의 확률을 표본공간의 파티션을 이용하여 표현 하는 방법을 말해줍니다. $A_1,~A_2,~\cdots,~A_n$가 표본공간 $S$의 파티션일때 위 식과 같이 $P( B ) = P( A_1 ∩ B ) + P( A_2 ∩ B ) + \cdots + P( A_n ∩ B )$라고 쓰는 경우도 있고 $P( A_k ∩ B ) = P( B | A_k )P( A_k ),~1 ≤ k ≤ n$임을 이용하여 $P( B ) = P( B | A_1 )P( A_1 ) + P( B | A_2 )P( A_2 ) + \cdots + P( B | A_n )P( A_n )$이라고 쓰는 경우도 있습니다. $A_1,~A_2,~\cdots,~A_n$가 표본공간 $S$의 파티션이면 사건 $B$는 표본 집합 $S$의 부..

토마스 베이즈 ( Thomas Bayes 1701~1706 ) 베이즈 공식 (Bayes' formula)는 다음의 식을 뜻합니다. $$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$ 사건 $A,~B$가 일어날 확률과 사건 $A$가 일어난 상태에서 사건 $B$가 일어날 확률을 알고 있으면서 사건 $B$가 일어난 상태에서 사건 $A$가 일어날 확률을 계산하고 싶을 때 쓰입니다. 예를들어 [조건부 확률의 활용] 양성반응일때 실제 병에 걸려있을 확률? - 계산편 [조건부 확률의 활용] 양성반응일때 실제 병에 걸려있을 확률? - 이해편 포스팅에 있듯 병에 걸릴 확률, 양성반응이 나올 확률 그리고 병이 있을때 양성반응이 나올 확률을 이용하여 양성반응이 나왔을때 병에 걸려있을 확률을 알 수 있습니다. $A..