field와 σ-field (sigma field)의 예

 

 

우선 field 혹은 σ-field가 되는 조건과 정의는 다음의 포스팅을 참고하시면 됩니다.

 

   참고 : field와 σ-field (sigma field)

 

            σ-field (sigma field)가 되는 필요충분조건

 

            field가 되는 필요충분조건

 

 

 

가산번의 합집합과 교집합에 닫혀있으면 유한번의 합집합과 교집합에 닫혀있으므로

 

A가 σ-field이면 A는 field도 됩니다.

 

 

 

표본 공간 S의 부분집합의 모임 A가 σ-field가 되는 가장 간단한 예로

 

S의 멱집합 와 { S, Ø }가 있습니다.

 

 

멱집합은 모든 부분집합의 모임이니

 

공집합도 아니고

 

가산번의 합집합과 교집합, 그리고 여집합에 대해 닫혀있게 됩니다.

 

 

{ S, Ø }는 딱 봐도 닫혀있죠? ^^

 

 

 

field가 되면서 σ-field가 되지않는 예를 찾으려면

 

유한번의 합집합과 교집합에는 닫혀있지만

 

가산번의 합집합과 교집합에는 닫혀있지 않은 경우를 찾으면 됩니다.

 

 

한 예로 다음을 들 수 있습니다.

 

S = ( 0, 1 ]라고 두고

 

A = { ( 0, 1 ]에 포함되는 구간의 유한 합집합 }

 

 

라고 정의하면

 

 

field가 되는 필요충분조건

 

1 ) S ∈ A

 

2 ) A ∈ A 이면 A의 여집합도 A에 포함

 

3 ) A, B ∈ A 이면 A ∪ B ∈ A

 

을 만족함을 쉽게 알 수 있습니다.

 

 

하지만 σ-field는 되지 않는데

 

예를들어

 

 

와 같이 가산번의 합집합의 결과가 A에 포함되지 않는 경우가 있어서

 

가산번의 합집합에 닫혀있지 않기 때문입니다.