한수학

사진 출처 : 위키피디아 베이즈 공식 (Bayes' formula)을 이해하기 위해 우선 아래 식에 대해서만 알아보겠습니다. $$P(A∩B)=P(A|B)P(B)$$ 사실 $P( A | B )$의 정의가 $P( A ∩ B ) / P( B )$이므로 수식적으로는 당연하다고 볼 수 있습니다. 의미를 살펴볼까요? $P( A ∩ B )$는 $A$와 $B$가 동시에 일어날 확률 $P( B )$는 $B$가 일어날 확률 그리고 $P ( A | B )$는 $B$가 일어났다는 조건에서 $A$가 일어날 확률입니다. 즉 위의 식을 풀어서 적어보면 "$A$와 $B$가 동시에 일어날 확률 $P( A ∩ B )$"이 "$B$가 일어날 확률 $P( B )$"에 "$B$가 일어난 상태에서 $A$가 일어날 확률 $P ( A | B )$..

다음과 같은 상황을 생각해 봅시다. 메모리를 생산하는 회사에서 몇년간의 경험상 $100$개를 생산하면 $5$개는 테스트에서 작동이 안되고 (정상인데 테스트를 통과 못하는 경우는 없다고 가정합시다.) $10$개는 테스트에서는 작동을 하는데 출하를 하고 얼마 지나지 않아 고장이 나고 나머지 $85$개는 테스트도 통과하고 출하 이후에도 제대로 작동을 한다고 가정을 합시다. 이때 테스트를 통과한 제품이 출하 이후에도 제대로 작동할 (즉 정상일) 확률 은 얼마나 될까요? 이 문제도 조건부 확률을 이용하여 쉽게 계산할 수 있습니다. 우리가 구하고자 하는 확률은 기호로 $P( 정상 | 테스트 통과 )$라고 적을 수 있습니다. 조건부 확률에 대한 정의를 그대로 따라가보면 $P( 정상 | 테스트 통과 ) = P( 정상이..

[조건부 확률의 활용] 양성반응일때 실제 병에 걸려있을 확률? - 계산편 포스팅에서 다룬 조건부 확률 문제를 그림을 통해 쉽게 이해해 보겠습니다. 문제는 다음과 같습니다. 문제 : 어떤 병 $A$에 대한 테스트가 있다. 어떤 사람이 $A$병에 걸릴 확률은 $1\%$ 이다 즉 $100$명에 한명꼴로 $A$병에 걸린다. 이 병을 진단할수 있는 테스트가 있는데 병에 걸린사람은 $99\%$의 확률로 양성 반응이 나오고 안걸린 사람은 $1\%$의 확률로 양성반응이 나온다. (즉 오진 확률 $1\%$) 어떤 사람이 병원에 가서 테스트를 받았는데 양성반응이 나왔다면 정말로 이 사람이 $A$병에 걸렸을 확률은 얼마일까? 답은? $1/2$입니다. 진단 테스트의 신뢰성이 꽤 높아 보이지만 의외로 양성반응일때 정말로 그 병..

조건부 확률에서 자주 등장하는 문제입니다. 문제 : 어떤 병 $A$에 대한 테스트가 있다. 어떤 사람이 $A$병에 걸릴 확률은 $1\%$ 이다 즉 $100$명에 한명꼴로 $A$병에 걸린다. 이 병을 진단할수 있는 테스트가 있는데 병에 걸린사람은 $99\%$의 확률로 양성 반응이 나오고 안걸린 사람은 $1\%$의 확률로 양성반응이 나온다. (즉 오진 확률 $1\%$) 어떤 사람이 병원에 가서 테스트를 받았는데 양성반응이 나왔다면 정말로 이 사람이 $A$병에 걸렸을 확률은 얼마일까? 직관적으로는 병에 걸릴 확률도 낮고 오진확률도 낮으니깐 양성반응이 나왔을때 실제로 그 병에 걸려있을 확률이 꽤 높아 보입니다. 정말 그러한지 먼저 계산으로 알아보겠습니다. 우리가 구하는 값은 양성 반응이 나왔을때 실제 $A$병에..

처음 조건부 확률을 배울때 식으로는 그러려니 했지만 개념이 이해가 안된 경우가 많았었는데 그럴때 그림을 그려보면 쉽게 이해가 되었던것 같습니다. 예를들어 어떤 표본 공간 $S$와 두 사건 $A, ~B$가 있을때 $S$와 $A,~B$의 관계는 다음 그림과 같이 나타낼 수 있습니다. $P( A | B )$, 즉 $B$가 일어났다는 조건하에서 $A$가 일어날 확률을 생각해 봅시다. 일단 $B$가 일어난 상태이므로 $A$가 일어나려면 $A ∩ B$이 되야합니다. 예를들어 $S$를 도형의 집합이라고 하고 $A$를 삼각형의 집합, 그리고 $B$를 모든 변의 길이가 같은 도형의 집합이라고 하면 $B$가 일어났다는 조건하에서 $A$가 일어났다는것은 모든변의 길이가 같은 도형인데 삼각형인것이 되므로 정삼각형 집합 $A ..

조건부 확률 $P(A|B)$는 사건 $B$가 일어난 상태에서 사건 $A$가 일어날 확률입니다. 표본 공간과 사건 포스팅에서 나왔던 문제를 다시 봅시다. 주사위 $2$개를 던졌는데 누군가 힐끗보고 $6$이 없다고 한 상태에서 두 주사위의 차이가 $2$일 확률은? 해당 포스팅에서는 그냥 풀었는데 오늘은 조건부 확률을 이용해서 풀려고 합니다. "주사위 $2$개를 던졌을때 두 주사위의 차이가 $2$인 사건"을 $A$라고 두고 "주사위중에 $6$이 없는 사건"을 $B$라고 두면 위의 문제는 $P( A | B )$로 나타낼 수 있습니다. 주사위를 $2$개 던졌을때 두 주사위의 차이가 $2$일 확률이 아니라 주사위를 $2$개던졌는데 그중 $6$이 없는 상태에서 두 주사위의 차이가 $2$일 확률을 구하는 것이므로 즉 ..