[조건부 확률의 활용] 양성반응일때 실제 병에 걸려있을 확률? - 이해편

 

 

[조건부 확률의 활용] 양성반응일때 실제 병에 걸려있을 확률? - 계산편 포스팅에서 다룬

 

조건부 확률 문제를 그림을 통해 쉽게 이해해 보겠습니다.

 

 

문제는 다음과 같습니다.

 

 

문제 : 어떤 병 $A$에 대한 테스트가 있다.

 

어떤 사람이 $A$병에 걸릴 확률은 $1\%$ 이다 즉 $100$명에 한명꼴로 $A$병에 걸린다.

 

이 병을 진단할수 있는 테스트가 있는데 병에 걸린사람은 $99\%$의 확률로 양성 반응이 나오고

 

안걸린 사람은 $1\%$의 확률로 양성반응이 나온다. (즉 오진 확률 $1\%$)

 

어떤 사람이 병원에 가서 테스트를 받았는데 양성반응이 나왔다면

 

정말로 이 사람이 $A$병에 걸렸을 확률은 얼마일까?

 

 

답은?

 

$1/2$입니다.

 

 

진단 테스트의 신뢰성이 꽤 높아 보이지만

 

의외로 양성반응일때 정말로 그 병에 걸려있을 확률이 낮습니다!

 

 

왜 그럴까요?

 

 

 

 

 

그림으로 이해해 봅시다.

 

우선 전체 사람들은 병에 걸린 사람과 병에 걸리지 않은 사람으로 나누어 볼 수 있다.

 

 

(병에 걸린 비율은 $1\%$이므로 더 작아야겠지만 편의를 위해 적당히 그렸습니다. ^^)

 

 

 

여기서 병에 걸리지 않은 사람은

양성 반응이 나온 사람과 음성 반응이 나온 사람으로 나누어 볼 수 있습니다.

 

또한 병에 걸린 사람도

양성 반응이 나온사람과 음성 반응이 나온 사람으로 나누어 볼 수 있습니다.

 

 

 

 

이제 그림을 합쳐봅시다.

 

 

 

 

이 그림을 보면 처음에 나왔던 조건부 확률에 대한 그림이 나옵니다.

 

설명의 편의를 위해 아래와 같이 각 상황에 번호를 매겨보겠습니다.

 

 

여기서 병에 결리지 않을 확률은 $P(①)+P(②)$

 

병에 걸릴 확률은 $P(③)+P(④)$입니다.

 

 

그리고 양성 반응이 나올 확률은 $P(②)+P(③)$

 

음성 반응이 나올 확률은 $P(①)+P(④)$입니다.

 

 

우리의 문제를 다시 써보면

 

$P(양성 반응이 나왔는데 병에 걸려있을 확률) = P(병에 걸림 | 양성 반응)$

 

$~~~= P(병에 걸림 ∩ 양성 반응) / P(양성반응) = P(③) / ( P(②)+P(③) )$이 됩니다.

 

 

즉 양성 반응이 나왔을때 병에 걸려있을 확률이 높으려면

 

$P(③)$가 크거나 $P(②)$가 작아야 합니다.

 

 

하지만 우리의 문제에서 보면

 

$② / (①+②)$는 $1\%$로 낮고

 

$③ / (③+④)$는 $99\%$로 높았지만

 

$①+②$가 $③+④$에 비해 워낙 커서 ( $99 : 1$ )

 

결과적으로 $②$와 $③$의 크기가 같아져 버렸습니다.

 

 

다시 말하면

 

발병률이 $1\%$로 워낙 낮다 보니

 

발병하지 않은 사람의 비율이 훨씬 높고

 

그러다보니 오진 (발병하지 않은 사람에게서 양성 반응이 나오는것)률이 $1\%$로 낮더라도

 

그 숫자가 무시할 수 없게 되어

 

 

오진으로 양성이 된 사람과

 

정말 그 병을 가지고 있어서 양성인 사람인 수가 같아지게 된 것입니다.

 

 

그러면 어떻게 정말 그병에 걸렸는지를 알 수 있을까요?

 

가까운 병원에 문의하세요 ^_^☆