조건부 확률 (conditional probability)

조건부 확률 $P(A|B)$는 사건 $B$가 일어난 상태에서 사건 $A$가 일어날 확률입니다.

 

 

 

표본 공간과 사건 포스팅에서 나왔던 문제를 다시 봅시다.

 

 

주사위 $2$개를 던졌는데 누군가 힐끗보고 $6$이 없다고 한 상태에서

 

두 주사위의 차이가 $2$일 확률은?

 

 

해당 포스팅에서는 그냥 풀었는데

 

오늘은 조건부 확률을 이용해서 풀려고 합니다.

 

 

"주사위 $2$개를 던졌을때 두 주사위의 차이가 $2$인 사건"을 $A$라고 두고

 

"주사위중에 $6$이 없는 사건"을 $B$라고 두면

 

 

위의 문제는 $P( A | B )$로 나타낼 수 있습니다.

 

 

주사위를 $2$개 던졌을때 두 주사위의 차이가 $2$일 확률이 아니라

 

주사위를 $2$개던졌는데 그중 $6$이 없는 상태에서

두 주사위의 차이가 $2$일 확률을 구하는 것이므로

 

 

즉 표본 공간이 주사위 두개를 던졌을때 나올 수 있는 모든 결과의 집합에서

 

주사위를 $2$개던졌는데 그중 $6$이 없는 모든 결과의 집합으로 줄어들었을때

 

두 주사위의 차이가 $2$일 확률을 구하는 것입니다.

 

 

줄어들은 표본 공간의 전체 확률값이 $1$이 되어야 하므로

 

각 사건의 확률값을 보정해줘야하는데

 

그 식은 다음과 같습니다.

 

$$P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}$$

 

 

예를들어 아무 조건이 없는 상태에서는 표본공간의 원소의 개수가 $36$개이므로

 

주사위 두개를 던져 $(1,5)$가 나올 확률이 $1/36$이지만

 

위 조건 $B$에서는 $(1,5)$가 나올 확률은 $1/25$가 된다.

 

 

 

원래 표본공간은 $36$개이고 위의 조건에 해당하는 집합은 원소가 $25$개이므로

 

$36 / 25 = 1 / P(B)$으로 보정하게 됩니다.

 

 

 

위의 문제를 조건부 확률을 이용해 풀어보면

 

$P( A ∩ B ) = P( \{ (1,3), (3,1), (2,4), (4,2), (3,5), (5,3) \} ) = 6 / 36 = 1 / 6$

 

$P( B ) = 25 / 36$

 

 

$P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}=\frac{1/6}{25/36}=\frac{6}{25}$가 됩니다.