한수학

수열 $(x_n)$의 극한값이 $x$인것을 증명하는 방법으로 수열의 극한값에 대한 정의를 바로 적용할수도 있고 경우에 따라 다른 충분조건을 통해 증명할 수 있습니다. 다음은 그 충분조건중 하나입니다. $(a_n)$이 극한값이 $0$인 양수 수열일때 다음을 만족하는 자연수 $m$과 상수 $C>0$가 존재하면 $$\mbox{$m$이상의 모든 $n$에 대해 }~|x_n-x|\le Ca_n$$ 수열 $(x_n)$은 $x$를 극한값으로 가집니다. 직관적으로 $(a_n)$이 $0$에 계속 가까워져 $x_n$과 $x$의 차이가 $0$에 가까워지므로 $x$가 $x_n$의 극한값이 될것으로 예상됩니다. 증명을 해보도록 하겠습니다. 수열의 극한에 대한 정의에 따라 임의의 $\epsilon>0$에 대해 자연수 $N(\eps..

네이버에서 수열의 극한으로 검색하면 다음과 같이 나옵니다. 무한수열 $(x_n)$에서 $n$이 무한히 커짐에 따라 $x_n$이 일정한 값 $x$에 한없이 가까워지면, $x$를 그 수열의 극한 또는 극한값 (limit value)이라 하고,$$\lim_{n\rightarrow\infty}{x_n}=x$$로 나타낸다. -출처 : 두산백과 극한값이 존재하는 경우 그 수열이 수렴한다고 합니다. 대충 감이 오시죠? 예를들어 수열 $(x_n)$을 다음과 같이 정의했을때 $$x_n=\frac{1}{n}$$ $n$이 무한히 커짐에 따라 $0$에 한없이 가까워짐을 알기 때문에 $0$이 수열 $(x_n)$의 극한값이라고 할 수 있습니다. 이처럼 위 설명은 수열의 극한이 무엇인지 감을 잡게해주지만 "가까워진다", "한없이"..