한수학

두 수열 $(x_n),~(y_n)$이 수렴하고 각각 극한값 $x,~y$를 가질때 두 수열의 비로 나타내어지는 수열 $(x_n/y_n)$도 수렴하는지 수렴한다면 극한값은 무엇인지를 알아보도록 하겠습니다. 사실 수렴하는 수열의 곱은 수렴하기 때문에 $(1/y_n)$이 수렴하고 극한값을 $1/y$로 가진다면 $(x_n/y_n)$은 수렴하고 극한값 $x/y$를 가지게 됩니다. $(1/y_n)$이 수렴하고 극한값을 $1/y$로 가짐을 증명해보도록 하겠습니다. 임의의 $\epsilon>0$에 대해 자연수 $N$이 존재하여 $N$ 이상의 모든 $n$에 대해 $|1/y_n-1/y|

$(x_n),~(y_n)$이 각각 극한값 $x,~y$를 가지는 수열이고 $c$가 상수일때 $(x_ny_n)$과 $(cx_n)$이 수렴하는지 알아보겠습니다. 수렴하는 수열은 유계이므로 수열 $(x_n)$, $(y_n)$에 다음을 만족하는 양수 $M_x,~M_y$가 각각 존재합니다. $$\mbox{모든 자연수 $n$에 대해, } |x_n|\le M_x,~\mbox{이고}~ |y_n|\le M_y$$ 자연수 $M$을 두 양수 $M_x,~M_y$ 중 큰 수로 두면 수열 $(x_n)$, $(y_n)$은 $M$으로 유계됩니다. 즉 $$\mbox{모든 자연수 $n$에 대해, } |x_n|\le M~\mbox{이고}~ |y_n|\le M$$ 임의의 $\epsilon>0$에 대해 자연수 $N(\epsilon)$이 있어 ..

수렴하는 수열의 합과 차도 수렴하는지 알아보겠습니다. 두 수열 $(x_n),~(y_n)$이 각각 극한값 $x,~y$를 가진다고 가정하겠습니다. 이 때 수열 $(x_n+y_n)$이 수렴하느냐의 문제인데 수렴할까요? 수렴의 정의에 따라 임의의 $\epsilon>0$에 대해 수열 $(x_n),~(y_n)$은 각각 자연수 $N_x(\epsilon),~N_y(\epsilon)$을 가져 수열 $(x_n)$은 $N_x(\epsilon)$이상의 모든 자연수 $n$에 대해 $|x_n-x|

해석학에서 자주 쓰이는 정리인 수렴하는 수열은 유계이다를 증명하도록 하겠습니다. 직관적으로 어떤 수열이 수렴하면 유한개를 제외한 나머지 모든 수열값들은 극한값의 $\epsilon$-근방에 포함된다는 것이므로 모든 수열값의 절대값은 처음 유한개중에 가장 큰 값과 극한값+$\epsilon$ 중 큰 값보다는 작거나 같게됩니다. 증명을 해보겠습니다. 수열 $(x_n)$의 극한값이 $x$일때 $\epsilon$을 $1$로 두면 그에대한 자연수 $N(\epsilon)=N(1)$이 존재해서 $n\ge N(1)$에 대해 $|x_n-x|

네이버에서 수열의 극한으로 검색하면 다음과 같이 나옵니다. 무한수열 $(x_n)$에서 $n$이 무한히 커짐에 따라 $x_n$이 일정한 값 $x$에 한없이 가까워지면, $x$를 그 수열의 극한 또는 극한값 (limit value)이라 하고,$$\lim_{n\rightarrow\infty}{x_n}=x$$로 나타낸다. -출처 : 두산백과 극한값이 존재하는 경우 그 수열이 수렴한다고 합니다. 대충 감이 오시죠? 예를들어 수열 $(x_n)$을 다음과 같이 정의했을때 $$x_n=\frac{1}{n}$$ $n$이 무한히 커짐에 따라 $0$에 한없이 가까워짐을 알기 때문에 $0$이 수열 $(x_n)$의 극한값이라고 할 수 있습니다. 이처럼 위 설명은 수열의 극한이 무엇인지 감을 잡게해주지만 "가까워진다", "한없이"..