한수학

표본 공간이 가산적인 경우 다음과 같이 확률 함수를 정의 할 수 있습니다. 표본 공간이 가산적인 경우 표본공간 $S=\{s_1,~s_2,~s_3,~\cdots\}$의 각 원소 $s_i,~i\ge 1$에 확률 값 $p_i,~i\ge 1$을 다음과 같이 줄 수 있습니다. 모든 $i$에 대해$p_i\ge 0$이고 $\sum_{i=1}^{\infty}{p_i}=1$ 확률 공간에 사용될 σ-field B를 표본 공간의 멱집합으로 정의하고 B의 원소 B에 대해 확률 함수를 다음과 같이 정의합니다. $$P(B)=\sum_{i|s_i\in B}{p_i}$$ 이렇게 정의된 P는 확률 함수의 조건을 만족 합니다 ^^ 관련 글 : 확률 측도 (probability measure) 혹은 확률 함수 (probability fu..

확률 함수의 정의를 이용하여 다음과 같은 유용한 (그리고 우리가 확률에 대해 알고있는 상식과 일치하는) 여러가지 성질을 유도할 수 있습니다. 관련글 : 확률 측도 (probability measure) 혹은 확률 함수 (probability function) ⅰ) A ⊂ B 이면 P(A) ≤ P(B) 증명 : P의 정의역은 σ-field이므로 B-A도 또한 P의 정의역에 포함됩니다. 즉 P(B-A) 값이 존재합니다. B=A∪(B-A) 이므로 확률 함수의 조건 ⅲ)에 의해 P(B) = P(A) + P(B-A) 확률 함수의 조건 ⅰ)에 의해 P(B-A) ≥ 0 따라서 P(B) = P(A) + P(B-A) ≥ P(A) ⅱ) 증명 : A와 A의 여집합은 전체집합 S의 파티션입니다. 그래서 확률 함수의 조건 ⅲ)..

누적 분포 함수 혹은 분포 함수 F는 실수 전체 집합 에서 정의되고 [0,1]에서 값을 가지는 F : →[0,1] 다음의 세가지 조건을 만족하는 함수를 말합니다. ⅰ) 우연속 ⅱ) 단조 비감소 ⅲ) 예) P가 확률 측도 함수일때 F(x)=P((-∞,x]), x∈ 는 누적 분포 함수가 됩니다.

확률 함수의 정의역은 σ-field 입니다. 관련글 : 확률 측도 (probability measure) 혹은 확률 함수 (probability function) 왜 확률에서 σ-field가 사용될까요? 확률을 사용하는 방식을 보면 알 수가 있습니다. 예를들어 트럼프에서 임의로 한장을 뽑을때 A를 다이아가 나오는 사건 B를 홀수가 나오는 사건이라고 정의하면 다이아가 나올 확률 P(A), 홀수가 나올 확률 P(B) 뿐만 아니라 다이아가 나오지 않을 확률 , 홀수가 나오지 않을 확률 도 생각을 합니다. 다시말해 어떤 사건 A에 대한 확률 값이 있다면 A의 여집합에 대한 확률 값도 있어야하는데 이것은 확률 함수의 정의역이 여집합에 대해서 닫혀있어야 가능합니다. 그리고 위의 예에서 홀수가 나오거나 다이아가 나올..

확률공간은 ⅰ) 표본공간 S ⅱ) S의 부분집합으로 이루어진 σ-field B ⅲ) 그리고 B에서 정의된 확률 메져 P, 이 세가지의 모임으로 정의되며 (S,B,P)로 표시됩니다. 확률적인 상황에서 나올수 있는 모든 경우의 수 (표본공간의 원소들입니다)와 그 경우의 수의 모임인 사건들 (σ-field의 원소들입니다) 그리고 각 사건의 확률값 (확률 메져에서 정의되어 있습니다)을 가지고 있는 수학적 모델링이라고 할 수 있습니다. 예를들어 주사위를 던져 짝수냐 홀수냐를 가리는 경우라고 했을때 그때의 확률 공간 (S,B,P)의 S, B, P는 다음과 같이 정의됩니다. S={1,2,3,4,5,6}, B={φ,S,{짝수},{홀수}}, P : P(φ)=0. P(S)=1, P({짝수})=1/2, P({홀수})=1/2

확률 측도 혹은 확률 함수 P는 표본 공간 S의 부분집합으로 이루어진 σ-field B를 정의역, [0,1]을 치역으로 하면서 다음 조건을 만족하는 함수를 말합니다. ⅰ ) B에 속하는 모든 원소 A에 대해서 P(A)≥0 ⅱ ) P(S)=1 ⅲ ) { An, n≥1}가 B의 원소이고 pairwise disjoint이면 위의 정의가 우리가 알고 있는 확률의 수학적 정의입니다.

우선 field 혹은 σ-field가 되는 조건과 정의는 다음의 포스팅을 참고하시면 됩니다. 참고 : field와 σ-field (sigma field) σ-field (sigma field)가 되는 필요충분조건 field가 되는 필요충분조건 가산번의 합집합과 교집합에 닫혀있으면 유한번의 합집합과 교집합에 닫혀있으므로 A가 σ-field이면 A는 field도 됩니다. 표본 공간 S의 부분집합의 모임 A가 σ-field가 되는 가장 간단한 예로 S의 멱집합 와 { S, Ø }가 있습니다. 멱집합은 모든 부분집합의 모임이니 공집합도 아니고 가산번의 합집합과 교집합, 그리고 여집합에 대해 닫혀있게 됩니다. { S, Ø }는 딱 봐도 닫혀있죠? ^^ field가 되면서 σ-field가 되지않는 예를 찾으려면 유..

σ-field (sigma field)는 공집합이 아니면서 가산번의 합집합 (countable union), 가산번의 교집합 (countable intersection) 그리고 여집합에 대해 닫혀있는 집합 S의 부분집합의 모임을 뜻합니다. 집합 S의 부분집합의 모임 A가 σ-field가 되는 필요충분 조건은 다음과 같습니다. 1 ) S ∈ A 2 ) A ∈ A 이면 A의 여집합도 A에 포함 3 ) A1, A2, A3, … ∈ A 이면 A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … ∈ A 집합의 모임 A가 σ-field임을 보일때 위의 조건을 만족하는것을 보이는것이 σ-field의 정의를 체크하는 것에 비해서 쉽기 때문에 위 조건을 활용하게 됩니다. 위 조건이 σ-field가 되는 필요충분조건임을 증명해보겠습니다. ⅰ) ..

field는 공집합이 아니면서 유한번의 합집합 (finite union), 유한번의 교집합 (finite intersection) 그리고 여집합에 대해 닫혀있는 집합 S의 부분집합의 모임을 뜻합니다. 집합 S의 부분집합의 모임 A가 field가 되는 필요충분 조건은 다음과 같습니다. 1 ) S ∈ A 2 ) A ∈ A 이면 A의 여집합도 A에 포함 3 ) A, B ∈ A 이면 A ∪ B ∈ A 집합의 모임 A가 field임을 보일때 위의 조건을 만족하는것을 보이는것이 field의 정의를 체크하는 것에 비해서 쉽기 때문에 위 조건을 활용하게 됩니다. 위 조건이 field가 되는 필요충분조건임을 증명해보겠습니다. ⅰ) 정의 => 조건 우선 A가 field의 정의를 만족할때 위의 조건을 만족함을 보이겠습니다...

field 혹은 algebra는 공집합이 아니면서 유한번의 합집합 (finite union), 유한번의 교집합 (finite intersection) 그리고 여집합에 대해 닫혀있는 집합 S의 부분집합의 모임을 뜻합니다. 그리고 σ-field (sigma field) 혹은 σ-algebra (sigma algebra)는 공집합이 아니면서 가산번의 합집합 (countable union), 가산번의 교집합 (countable intersection) 그리고 여집합에 대해 닫혀있는 집합 S의 부분집합의 모임을 뜻합니다. 참고 : 유한번 (finite) / 가산번 (countable)의 합집합 혹은 교집합 집합의 모임 (collection of sets)이 닫혀있다 (closure) 집합 S의 부분집합의 모임 A..