한수학

두 수열 $(x_n),~(y_n)$이 양의 수열이고 어떤 양의 실수 $L$에 대해 $\lim_{n\rightarrow}{x_n/y_n}=L$을 만족할때 $\lim_{n\rightarrow}{x_n}=+\infty$인것과 $\lim_{n\rightarrow}{y_n}=+\infty$인것은 필요충분조건입니다. 즉 $\lim_{n\rightarrow}{x_n}=+\infty$을 직접적으로 보이기 어려울때 $\lim_{n\rightarrow}{x_n/y_n}=L$을 만족하는 적당한 양의 수열 $(y_n)$을 찾아 $\lim_{n\rightarrow}{y_n}=+\infty$인것을 보여주는 방법으로 $\lim_{n\rightarrow}{x_n}=+\infty$임을 증명할 수 있습니다. 증명은 다음과 같습니다. $..

정발산 수열은 수열이 양의 무한대 혹은 음의 무한대로 가는 경우를 뜻합니다. 수열이 수렴하지 않으면 발산인데 발산에는 양의 무한대로 가는 경우, 음의 무한대로 가는 경우, 진동하는 경우가 있습니다. 이 중 양의 무한대로 가는 경우, 음의 무한대로 가는 경우 정발산 한다고 합니다. 정확한 정의는 다음과 같습니다. 1) 모든 실수 $\alpha\in $에 대해 (아래 그림과 같이) 자연수 $K(\alpha)$가 존재하여 $K(\alpha)$보다 크거나 같은 모든 자연수 $n$에 대해 $x_n>\alpha$이면 수열 $(x_n)$은 양의 무한대로 간다고 하고 $\lim_{n\rightarrow\infty}{x_n}=\infty$라고 적습니다. 2) 모든 실수 $\beta\in $에 대해 자연수 $K(\beta..

수열 $(x_n)$이 수축하는 수열일때 코시 수열이 되고 따라서 수렴함을 보이겠습니다. 참고 : 수축하는 수열 (contractive sequence)이란? 코시 수렴 기준 (Cauchy Convergence Criterion) 우선 수열 $(x_n)$이 수축하는 수열이므로 $00$에 대해 $C^{n-1}\frac{1}{1-C}|x_2-x_1|H(\epsilon)$에 대해 $|x_m-x_n|

수축하는 수열은 인접한 수열 값과의 차이가 점점 줄어드는 수열을 말합니다. 정의는 다음과 같습니다. 모든 자연수 $n$에 대해 $|x_{n+2}-x_{n+1}|\leq C|x_{n+1}-x_n|$을 만족하는 $0$과 $1$사이의 상수 $C$가 있는 수열 $(x_n)$을 수축하는 수열이라고 합니다. 이때 상수 $C$를 수축하는 수열의 상수라고 합니다.

코시 수렴 기준은 다음과 같습니다. 수열이 수렴하는 것과 코시 수열인 것은 필요충분조건이다. 즉 수렴하면 코시 수열이고 코시 수열이면 수렴한다는 것입니다. 우선 수열 $(x_n)$이 수렴하면 코시 수열임을 증명하겠습니다. 극한값을 $x$로 두겠습니다. $(x_n)$이 수렴하므로 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $N(\epsilon/2)$이 존재하여 모든 $n\geq N(\epsilon/2)$에 대해 $|x_n-x|

코시 수열은 유계입니다. 증명은 다음과 같습니다. 코시 수열의 정의에 따라 임의의 $\epsilon>0$에 대해 자연수 $H(\epsilon)$이 존재하여 모든 자연수 $n,~m\geq H(\epsilon)$에 대해 $|x_n-x_m|

코시 수열은 개념적으로 아래 그림과 같이 유한개의 원소를 를 뺀 나머지 수열의 수열 값 차이가 모두 특정한 값 이하인 수열을 뜻합니다. 정확한 정의는 다음과 같습니다. 임의의 $\epsilon>0$에 대해 자연수 $H(\epsilon)$이 존재하여 $n,~m\geq H(\epsilon)$을 만족하는 모든 자연수 $n,~m$에 대해 $|x_n-x_m|

소개드릴 정리는 다음과 같습니다. 수렴하는 부분 수열이 모두 $x$로 수렴하는 유계 수열은 $x$로 수렴한다. 모든 부분 수열이 $x$로 수렴하는 것이 아니라 수렴하는 부분 수열이 $x$로 수렴하는 것에 유의합니다. 볼차노 바이어슈트라스 정리를 통해 유계 수열이 반드시 수렴하는 부분 수열을 가진다는 것을 알 수 있고 이 정리를 통해 수렴하는 부분 수열들이 모두 같은 값으로 수렴한다면 원래의 수열도 그 값으로 수렴한다는 것을 알 수 있습니다. 증명은 다음과 같습니다. 수열 $(x_n)$이 모든 자연수 $n$에 대해 $|x_n|0$와 부분 수열 $(x_{n_k})$가 존재해서 모든 자연수 $k$에 대해 $|x_{n_k}-x|>\epsilon_0$을 만족합니다. 참고 : 수열이 x로 수렴하지 않을 조건 수열 ..

볼차노 바이어슈트라스 정리는 다음과 같습니다. 유계 수열은 수렴하는 부분 수열을 가진다. 간단하지만 각종 증명에 자주 쓰이는 파워풀한 정리입니다 ^^ 증명도 간단합니다. 단조 수렴 정리와 단조 부분 수열 정리를 합치면 바로 나옵니다. 참고 : 단조 수렴 정리 (monotone convergence theorem) 단조 부분 수열 정리 (monotone subsequence theorem) 단조 부분 수열 정리로 부터 모든 수열이 단조 부분 수열을 가진다는것을 알고있습니다. 유계 수열도 당연히 단조 부분 수열을 가지게 되는데 유계 수열의 부분 수열도 유계이므로 유계 수열의 부분 수열은 단조 유계가 됩니다. 따라서 단조 수렴 정리에 의해 수렴한다는것을 알수있습니다.

단조 부분 수열 정리는 다음과 같습니다. 모든 수열은 단조 부분 수열을 가진다. 간단하죠? 다시 말하면 수열 $(x_n)$이 어떤 방식으로 정의되든 상관없이 단조 증가 부분 수열 $(x_{n_k})$ 혹은 단조 감소 부분 수열 $(x_{r_k})$을 가진다는 것입니다. 증명은 다음과 같습니다. 모든 수열은 자신 이후의 모든 수열 값이 자기 보다 작거나 같은 수열이 (예를들어 $x_m$이 그런 수열이라면 자연수 $m$보다 크거나 같은 모든 자연수 $n$에 대해 $x_m\geq x_n$을 만족합니다.) 유한개인 경우와 무한개인 경우로 나뉘어 집니다. 무한개인 경우는 그런 수열 값에 해당하는 index를 순서대로 $m_1,~m_2,~m_3,~\cdots$라고 했을때 $x_{m_1}\geq x_{m_2}\geq..