한수학

$(x_n),~(y_n)$이 각각 극한값 $x,~y$를 가지는 수열이고 $c$가 상수일때 $(x_ny_n)$과 $(cx_n)$이 수렴하는지 알아보겠습니다. 수렴하는 수열은 유계이므로 수열 $(x_n)$, $(y_n)$에 다음을 만족하는 양수 $M_x,~M_y$가 각각 존재합니다. $$\mbox{모든 자연수 $n$에 대해, } |x_n|\le M_x,~\mbox{이고}~ |y_n|\le M_y$$ 자연수 $M$을 두 양수 $M_x,~M_y$ 중 큰 수로 두면 수열 $(x_n)$, $(y_n)$은 $M$으로 유계됩니다. 즉 $$\mbox{모든 자연수 $n$에 대해, } |x_n|\le M~\mbox{이고}~ |y_n|\le M$$ 임의의 $\epsilon>0$에 대해 자연수 $N(\epsilon)$이 있어 ..

수렴하는 수열의 합과 차도 수렴하는지 알아보겠습니다. 두 수열 $(x_n),~(y_n)$이 각각 극한값 $x,~y$를 가진다고 가정하겠습니다. 이 때 수열 $(x_n+y_n)$이 수렴하느냐의 문제인데 수렴할까요? 수렴의 정의에 따라 임의의 $\epsilon>0$에 대해 수열 $(x_n),~(y_n)$은 각각 자연수 $N_x(\epsilon),~N_y(\epsilon)$을 가져 수열 $(x_n)$은 $N_x(\epsilon)$이상의 모든 자연수 $n$에 대해 $|x_n-x|

$\epsilon$-근방은 $\epsilon$만큼의 거리에 있는 모든 원소들의 모임을 뜻합니다. 즉 점 $x$에 대한 $\epsilon$-근방 $B_{\epsilon}(p)$는 다음과 같이 정의됩니다. $$B_{\epsilon}(p)=\{x\in\mathbb{R}~|~|p-x|

해석학에서 자주 쓰이는 정리인 수렴하는 수열은 유계이다를 증명하도록 하겠습니다. 직관적으로 어떤 수열이 수렴하면 유한개를 제외한 나머지 모든 수열값들은 극한값의 $\epsilon$-근방에 포함된다는 것이므로 모든 수열값의 절대값은 처음 유한개중에 가장 큰 값과 극한값+$\epsilon$ 중 큰 값보다는 작거나 같게됩니다. 증명을 해보겠습니다. 수열 $(x_n)$의 극한값이 $x$일때 $\epsilon$을 $1$로 두면 그에대한 자연수 $N(\epsilon)=N(1)$이 존재해서 $n\ge N(1)$에 대해 $|x_n-x|

수열 $(x_n)$의 모든 원소의 절대값이 어떤 실수 $M>0$보다 작거나 같은경우 수열 $(x_n)$은 유계라고 합니다. 즉 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $|x_n|\le M$인 실수 $M>0$이 존재하면 수열 $(x_n)$은 유계입니다. 유계가 아닌 경우 비유계 (unbounded)라고 합니다. 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $x_n\le A$인 실수 $A$가 존재하면 수열 $(x_n)$은 위로 유계 (bounded above)라고 하고 $A$는 상계 (upper bound)라고 합니다.. 상계 중에 가장 작은 상계는 최소 상계 (least upper bound)라고 합니다. 그리고 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $x_n\ge B$인 실수 $B$가 존재하면..

수열 $(x_n)$의 극한값이 $x$인것을 증명하는 방법으로 수열의 극한값에 대한 정의를 바로 적용할수도 있고 경우에 따라 다른 충분조건을 통해 증명할 수 있습니다. 다음은 그 충분조건중 하나입니다. $(a_n)$이 극한값이 $0$인 양수 수열일때 다음을 만족하는 자연수 $m$과 상수 $C>0$가 존재하면 $$\mbox{$m$이상의 모든 $n$에 대해 }~|x_n-x|\le Ca_n$$ 수열 $(x_n)$은 $x$를 극한값으로 가집니다. 직관적으로 $(a_n)$이 $0$에 계속 가까워져 $x_n$과 $x$의 차이가 $0$에 가까워지므로 $x$가 $x_n$의 극한값이 될것으로 예상됩니다. 증명을 해보도록 하겠습니다. 수열의 극한에 대한 정의에 따라 임의의 $\epsilon>0$에 대해 자연수 $N(\eps..

수열의 극한이 유일한가에 대해서 알아보겠습니다. 극한이 유일하다는 것은 수열 $x_{n}$의 모든 부분 수열 (예) $x_{2n},~x_{2n+1},~x_{3n},~\cdots$)이 같은 극한값을 갖는다는 뜻입니다. 직관적인 증명은 다음과 같습니다. 수열 $(x_n)$이 극한값 $x$를 가지면 극한의 정의에 따라 임의의 $\epsilon$에 대해 어떤 자연수 $N(\epsilon)$이 존재해서 $N(\epsilon)$번째 부터의 "모든" 수열값 즉 $x_{N(\epsilon)},~x_{N(\epsilon)+1},~x_{N(\epsilon)+2},~\cdots$ 가 $(x-\epsilon,~x+\epsilon)$에 들어갑니다. 그러면 당연히 모든 부분수열의 값도 $(x-\epsilon,~x+\epsilon..

네이버에서 수열의 극한으로 검색하면 다음과 같이 나옵니다. 무한수열 $(x_n)$에서 $n$이 무한히 커짐에 따라 $x_n$이 일정한 값 $x$에 한없이 가까워지면, $x$를 그 수열의 극한 또는 극한값 (limit value)이라 하고,$$\lim_{n\rightarrow\infty}{x_n}=x$$로 나타낸다. -출처 : 두산백과 극한값이 존재하는 경우 그 수열이 수렴한다고 합니다. 대충 감이 오시죠? 예를들어 수열 $(x_n)$을 다음과 같이 정의했을때 $$x_n=\frac{1}{n}$$ $n$이 무한히 커짐에 따라 $0$에 한없이 가까워짐을 알기 때문에 $0$이 수열 $(x_n)$의 극한값이라고 할 수 있습니다. 이처럼 위 설명은 수열의 극한이 무엇인지 감을 잡게해주지만 "가까워진다", "한없이"..

수열의 정의는 주로 두가지로 나누어 집니다. 첫번재로 $n$번째 항 $x_n$의 값을 공식을 이용해 정의해주는 방법이 있고 두번재로 $x_n$의 값을 다른 항과의 관계를 통해서 정의하는 방법이 있습니다. 예를들어 다음과 같은 수열의 경우 $2,~4,~6,~8,~,10~,\cdots$ 다음과 같이 정의 할 수 있습니다. $x_n=2n$ 혹은 $x_1=2,~x_n=x_{n-1}+2$ 위에 제시된 방법 외에도 규칙없이 무작위로 숫자를 나열하여 수열을 정의하는 방법도 있고 $\pi$같은 무한소수를 이용하여 수열을 정의하는 방법 등도 있습니다.

수열은 순서가 있는 수의 모임을 말합니다. 다르게 정의하면 자연수 집합을 정의역으로 하고 실수값을 가지는 함수입니다. 예를들어 $0.2, ~0.4, ~0.6,~\cdots$와 같은 수열은 단순히 자연수에 $0.2$를 곱한 수들을 모은 집합이 아니라 $0.2$가 제일 처음, $0.4$가 두번째, $\cdots$ 이런 식으로 순서를 가지고 있는 수의 모임입니다. 함수를 이용하여 정의해보면 $X$를 주어진 수열이라고 하였을때 $X$는 자연수에서 정의되고 다음과 같이 값을 가지는 함수라고 할 수 있습니다. $$X(1)=0.2,~X(2)=0.4,~\cdots,X(n)=0.2n$$ $X$가 수열인 경우 $n$번째 원소의 값은 $x_n$으로 나타내며 수열 전체는 $X$ 혹은 $(x_n)$으로 나타냅니다.