수열의 극한 (limit of a sequence)과 수렴

네이버에서 수열의 극한으로 검색하면 다음과 같이 나옵니다.

무한수열 $(x_n)$에서 $n$이 무한히 커짐에 따라 $x_n$이 일정한 값 $x$에 한없이 가까워지면,

$x$를 그 수열의 극한 또는 극한값 (limit value)이라 하고,

$$\lim_{n\rightarrow\infty}{x_n}=x$$

로 나타낸다.    -출처 : 두산백과

극한값이 존재하는 경우 그 수열이 수렴한다고 합니다.

대충 감이 오시죠?

예를들어 수열 $(x_n)$을 다음과 같이 정의했을때

$$x_n=\frac{1}{n}$$

$n$이 무한히 커짐에 따라

$0$에 한없이 가까워짐을 알기 때문에

$0$이 수열 $(x_n)$의 극한값이라고 할 수 있습니다.

이처럼 위 설명은 수열의 극한이 무엇인지 감을 잡게해주지만

"가까워진다", "한없이"등의 표현이 수학적으로 정의된 표현이 아니므로

엄밀한 정의라고 할 수는 없습니다.

수열의 극한에 대한 엄밀한 정의는 무엇일까요?

수열의 극한에 대한 정의는 다음과 같습니다.

임의의 양수 $\epsilon>0$에 대해 어떤 자연수 $N(\epsilon)$이 존재하여

$N(\epsilon)$이상인 모든 자연수 $n$에 대해 $x_n$이

$|x_n-x|<\epsilon$을 만족하면 

수열 $(x_n)$은 $x$로 수렴한다 혹은 $x$는 수열 $(x_n)$의 극한값이라고 합니다.

즉 위의 그림과 같이

임의의 $\epsilon$에 대해 수열 $(x_n)$의 값이 $N(\epsilon)$부터는 모두

$(x-\epsilon,~x+\epsilon)$ 안에 포함되게하는 $N(\epsilon)$이 존재하면

수열 $(x_n)$이 수렴하며 $x$가 수열 $(x_n)$이 극한값이 되는 것입니다.

위에서 예를 들은 수열 $x_n=\frac{1}{n}$의 경우

임의의 양수 $\epsilon$에 대해

반드시 $\frac{1}{n}<\epsilon$을 만족하는 자연수 $n$이 존재하고

그 $n$을 $N(\epsilon)$이라고 두면 $N(\epsilon)$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대해서

$|\frac{1}{n}-0|=|\frac{1}{n}|<\epsilon$을 만족하므로

수열 $(x_n)$의 극한값이 $0$임을 알 수 있습니다.

수열이 극한값을 가지지 않는 경우

수열이 발산한다 (diverge)고 합니다.