극한값은 유일한가?

수열의 극한이 유일한가에 대해서 알아보겠습니다.

극한이 유일하다는 것은

수열 $x_{n}$의 모든 부분 수열 (예) $x_{2n},~x_{2n+1},~x_{3n},~\cdots$)이

같은 극한값을 갖는다는 뜻입니다.

직관적인 증명은 다음과 같습니다.

수열 $(x_n)$이 극한값 $x$를 가지면

극한의 정의에 따라

임의의 $\epsilon$에 대해 어떤 자연수 $N(\epsilon)$이 존재해서

$N(\epsilon)$번째 부터의 "모든" 수열값 즉 $x_{N(\epsilon)},~x_{N(\epsilon)+1},~x_{N(\epsilon)+2},~\cdots$

가 $(x-\epsilon,~x+\epsilon)$에 들어갑니다.

그러면 당연히 모든 부분수열의 값도 $(x-\epsilon,~x+\epsilon)$에 포함되므로

수열의 극한값은 유일하게 됩니다.

이것을 증명을 통해 알아보겠습니다.

귀류법을 통해 증명을 하겠습니다.

수열 $(x_n)$이 서로다른 두개의 극한값 $x,~y$를 가진다고 가정해봅시다

그러면 극한의 정의에 따라

임의의 $\epsilon>0$에 대해

자연수 $N_x(\epsilon),~N_y(\epsilon)$이 존재하여

$N_x(\epsilon)$번째부터의 모든 수열값은 $(x-\epsilon,x+\epsilon)$에 포함되고

$N_y(\epsilon)$번째부터의 모든 수열값은 $(y-\epsilon,y+\epsilon)$에 포함됩니다.

즉 두 자연수$N_x(\epsilon),~N_y(\epsilon)$ 중 큰수를 $N$이라고 했을때

$N$번째부터 수열값은

$(x-\epsilon,x+\epsilon)$, $(y-\epsilon,y+\epsilon)$ 이 두 구간에 동시에 포함되어야 하는데

여기서 우리가 $\epsilon$을 $\frac{1}{2}|x-y|$보다 작게 잡으면 

이 두 구간이 서로 겹치지 않으므로 모순이 됩니다.

따라서 극한값은 유일합니다 ^_^★