수렴하는 수열은 유계이다

해석학에서 자주 쓰이는 정리인

수렴하는 수열은 유계이다를 증명하도록 하겠습니다.

직관적으로

어떤 수열이 수렴하면 유한개를 제외한 나머지 모든 수열값들은

극한값의 $\epsilon$-근방에 포함된다는 것이므로 

모든 수열값의 절대값은

처음 유한개중에 가장 큰 값과 극한값+$\epsilon$ 중 큰 값보다는 작거나 같게됩니다.

증명을 해보겠습니다.

수열 $(x_n)$의 극한값이 $x$일때

$\epsilon$을 $1$로 두면 그에대한 자연수 $N(\epsilon)=N(1)$이 존재해서

$n\ge N(1)$에 대해 $|x_n-x|<\epsilon$

즉 $x-\epsilon<x_n<x+\epsilon$이 됩니다.

$M$을 $|x_1|,~|x_2|,~\cdots,~|x_{N(1)-1}|,~|x-\epsilon|,~|x+\epsilon|$ 중 가장 큰 수로 두면

모든 자연수 $n\in\mathbb{N}$에 대해

$|x_n|\le M$이 되어 유계임이 증명됩니다.