수렴하는 수열의 합, 차도 수렴하나요?

수렴하는 수열의 합과 차도 수렴하는지 알아보겠습니다.

두 수열 $(x_n),~(y_n)$이 각각 극한값 $x,~y$를 가진다고 가정하겠습니다.

이 때 수열 $(x_n+y_n)$이 수렴하느냐의 문제인데

수렴할까요? 

수렴의 정의에 따라

임의의 $\epsilon>0$에 대해 수열 $(x_n),~(y_n)$은 각각 자연수 $N_x(\epsilon),~N_y(\epsilon)$을 가져

수열 $(x_n)$은 $N_x(\epsilon)$이상의 모든 자연수 $n$에 대해

$|x_n-x|<\epsilon$이 성립하고

수열 $(y_n)$은 $N_y(\epsilon)$이상의 모든 자연수 $n$에 대해

$|y_n-y|<\epsilon$이 성립합니다.

그림이 보이시나요?

$(x_n)$도 $N_x(\epsilon)$ 이상부터는 모두 극한값 $x$의 $\epsilon$-근방에 포함되고

$(y_n)$도 $N_y(\epsilon)$ 이상부터는 모두 극한값 $y$의 $\epsilon$-근방에 포함된다면

$(x_n+y_n)$도 몇번째 이상부터는 모두 극한값 $x+y$의 $2\epsilon$-근방에 포함되지 않을까요?

증명을 해봅시다

$N(\epsilon)$을  두 자연수 $N_y(\frac{1}{2}\epsilon)$와 $N_y(\frac{1}{2}\epsilon)$ 중 큰 수로 잡으면

$N(\epsilon)$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대해

$|(x_n+y_n)-(x+y)|=|x_n-x+y_n-y|\le |x_n-x|+|y_n-y|$

$~~~< \frac{1}{2}\epsilon + \frac{1}{2}\epsilon =\epsilon$이 됩니다.

따라서 수렴하는 두 수열의 합은 수렴합니다.

차의 경우에도 비슷하게 증명할 수 있습니다.