수렴하는 수열의 비도 수렴하는가?

두 수열 $(x_n),~(y_n)$이 수렴하고 각각 극한값 $x,~y$를 가질때

두 수열의 비로 나타내어지는 수열 $(x_n/y_n)$도 수렴하는지 

수렴한다면 극한값은 무엇인지를 알아보도록 하겠습니다.

사실 수렴하는 수열의 곱은 수렴하기 때문에 

$(1/y_n)$이 수렴하고 극한값을 $1/y$로 가진다면

$(x_n/y_n)$은 수렴하고 극한값 $x/y$를 가지게 됩니다.

$(1/y_n)$이 수렴하고 극한값을 $1/y$로 가짐을 증명해보도록 하겠습니다.

임의의 $\epsilon>0$에 대해 자연수 $N$이 존재하여

$N$ 이상의 모든 $n$에 대해

$|1/y_n-1/y|<\epsilon$임을 보이면 됩니다.

증명의 힌트를 얻기위기 식을 전개해보면

$|1/y_n-1/y|=\frac{|y_n-y|}{|y_ny|}$  <= 이렇게 되는데

수열 $(y_n)$이 $y$로 수렴하므로 굉장히 작은 $\epsilon$을 선택하는 방법으로

분자 $|y_n-y|$는 충분히 작게 만들수 있습니다.

따라서 분모 $|y_ny|$가 적당한 값보다 크게되면

$\frac{|y_n-y|}{|y_ny|}$을 $\epsilon$보다 작게 만들 수 있습니다.

일단 극한값 $y$가 $0$이면 $(1/y_n)$이 수렴하지 않으므로 이 경우는 빼도록 하겠습니다.

$y$가 $0$이 아니면 $0<\epsilon<y$가 되도록 $\epsilon$을 잡아서

$y-\epsilon$이 $0$보다 크도록 만들 수 있습니다.

자주 쓰는 방법을 이용하여 $\epsilon=\frac{1}{2}|y|$으로 두면

$(y_n)$은 수렴하므로 자연수 $N(\frac{1}{2}|y|)$이 존재하여 그 이상의 자연수 $n$에 대해

$|y_n-y|<\frac{1}{2}|y|$을 만족하게 됩니다.

여기서 아래식이 성립하므로

$$|y_n-y|<\frac{1}{2}|y| \Rightarrow -\frac{1}{2}|y|<y_n-y<\frac{1}{2}|y| \Rightarrow y-\frac{1}{2}|y|<y_n<y+\frac{1}{2}|y|$$

$n\ge N(\frac{1}{2}|y|)$에 대해 $|y_n|>\frac{1}{2}|y|$을 만족하게 됩니다.

따라서 $|y_ny|>\frac{1}{2}|y|^2$이 되고

$(y_n)$은 수렴하므로 $N(\frac{1}{2}|y|^2\epsilon)$이 존재해서 $n\ge N$에 대해

$|y_n-y|<\frac{1}{2}|y|^2\epsilon$을 만족합니다. 

정리해보면 

임의의 $\epsilon>0$에 대해 $N$이 존재하여 ($N(\frac{1}{2}|y|)$와 $N(\frac{1}{2}|y|^2\epsilon)$ 중 큰 수)

$n\ge N$에 대해 $|1/y_n-1/y|=\frac{|y_n-y|}{|y_ny|}<\frac{1}{2}|y|^2\epsilon / \frac{1}{2}|y|^2 = \epsilon$을 만족하게 됩니다.

따라서 극한값 $y$가 $0$이 아니면 수열 $(1/y_n)$은 $1/y$로 수렴하고

수열 $(x_n/y_n)$은 $x/y$로 수렴합니다.