극한의 크기 비교

수렴하는 두 수열 $(x_n)$, $(y_n)$이 모든 $n$에 대해 $x_n \leq y_n$일때 

$\lim_{n\rightarrow\infty}{x_n}\leq\lim_{n\rightarrow\infty}{y_n}$가 되는지 알아보도록 하겠습니다.

수열에서의 대소관계가 극한에서도 유지되느냐인데 

결론부터 말씀드리면 유지가 됩니다.

증명을 해보도록 하겠습니다.

여러가지 방식으로 할 수 있는데

귀류법을 써서 해보겠습니다.

$\lim_{n\rightarrow\infty}{x_n}=x$, $\lim_{n\rightarrow\infty}{y_n}=y$라고 하고

$y<x$인 경우가 있다고 가정하겠습니다.

$\epsilon$을 $\frac{1}{2}(x-y)$보다 작게 두면

두 수열 $(x_n),~(y_n)$은 수렴하므로

자연수 $N_x(\epsilon)$이 존재하여 $n\geq N_x(\epsilon)$인 모든 $n$에 대해

$|x_n-x|<\epsilon$을 만족하고

자연수 $N_y(\epsilon)$이 존재하여 $n\geq N_y(\epsilon)$인 모든 $n$에 대해

$|y_n-y|<\epsilon$을 만족합니다.

즉, $N(\epsilon)=\max(N_x(\epsilon),N_y(\epsilon))$로 정의하면

$n\geq N(\epsilon)$인 모든 $n$에 대해 $x-\epsilon<x_n<x+\epsilon$이고 $y-\epsilon<y_n<y+\epsilon$이므로

$\epsilon<\frac{1}{2}(x-y)$인 사실을 이용하면

아래 그림과 같이 $y_n<y+\epsilon<x-\epsilon<x_n$이 되어 모순이 됨을 알 수 있습니다.

여기서 문제

수렴하는  $(x_n)$, $(y_n)$이 모든 $n$에 대해 $x_n < y_n$일때 

$\lim_{n\rightarrow\infty}{x_n}<\lim_{n\rightarrow\infty}{y_n}$가 될까요?