field와 σ-field (sigma field)

 

 

 

 

field 혹은 algebra는 공집합이 아니면서

 

유한번의 합집합 (finite union), 유한번의 교집합 (finite intersection) 그리고 여집합에 대해 닫혀있는

 

집합 S의 부분집합의 모임을 뜻합니다.

 

 

그리고

 

 

σ-field (sigma field) 혹은 σ-algebra (sigma algebra)는 공집합이 아니면서

 

가산번의 합집합 (countable union), 가산번의 교집합 (countable intersection)

 

그리고 여집합에 대해 닫혀있는 집합 S의 부분집합의 모임을 뜻합니다.

 

 

 

     참고 : 유한번 (finite) / 가산번 (countable)의 합집합 혹은 교집합

 

              집합의 모임 (collection of sets)이 닫혀있다 (closure)

       

 

 

집합 S의 부분집합의 모임 A가 field가 되는 필요충분 조건은 다음과 같습니다.

 

  1 )  S ∈ A

 

  2 )  A ∈ A 이면 A의 여집합도 A에 포함

 

  3 )  A, B ∈ A 이면 A ∪ B ∈ A

 

 

그리고

 

 

집합 S의 부분집합의 모임 A가 σ-field가 되는 필요충분 조건은 다음과 같습니다.

 

1 ) S ∈ A

 

2 ) A ∈ A 이면 A의 여집합도 A에 포함

 

3 ) A1, A2, A3, … ∈ A 이면 A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … ∈ A

 

 

 

어떤 집합의 모임 A가 field 혹은 σ-field임을 보일때

 

위의 조건을 만족하는것을 보이는것이

 

field나 σ-field의 정의를 체크하는 것에 비해서 쉽기 때문에

 

위 조건을 활용하게 됩니다.

 

 

 

 

 

field라는 용어가 수학의 각 분야에서 다르게 쓰이는데

 

확률론에서는 위의 의미로 쓰입니다.