[조건부 확률의 활용] 양성반응일때 실제 병에 걸려있을 확률? - 계산편

 

조건부 확률에서 자주 등장하는 문제입니다.

 

 

문제 : 어떤 병 $A$에 대한 테스트가 있다.

 

어떤 사람이 $A$병에 걸릴 확률은 $1\%$ 이다 즉 $100$명에 한명꼴로 $A$병에 걸린다.

 

이 병을 진단할수 있는 테스트가 있는데 병에 걸린사람은 $99\%$의 확률로 양성 반응이 나오고

 

안걸린 사람은 $1\%$의 확률로 양성반응이 나온다. (즉 오진 확률 $1\%$)

 

어떤 사람이 병원에 가서 테스트를 받았는데 양성반응이 나왔다면

 

정말로 이 사람이 $A$병에 걸렸을 확률은 얼마일까?

 

 

 

직관적으로는

 

병에 걸릴 확률도 낮고

 

오진확률도 낮으니깐 양성반응이 나왔을때 실제로 그 병에 걸려있을 확률이 꽤 높아 보입니다.

 

 

 

정말 그러한지 먼저 계산으로 알아보겠습니다.

 

 

우리가 구하는 값은 양성 반응이 나왔을때 실제 $A$병에 걸려있을 확률입니다.

 

즉 다음의 확률 입니다.

 

$$P(실제~그~병에~걸림 | 양성반응)$$

 

조건부 확률에 대한 정의를 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$P(실제 그 병에 걸림 | 양성반응)=\frac{P(실제~그~병에~걸림∩양성반응)}{P(양성반응)}$$

 

 

양성반응은

 

실제 그 병에 걸려있으면서 양성반응이 나온 경우와

 

그 병에 걸려있지 않지만 양성반응이 나온 경우

이렇게 2가지로 나누어서 생각할 수 있습니다.

 

 

즉 양성반응이라는 사건은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

$$\{양성반응\}=\{양성반응∩실제~그~병에~걸림\}∪\{양성반응∩실제~그~병에~걸리지~않음\}$$

 

 

여기서 병에 걸린 사람이 양성 반응이 나올 확률이 $99\%$ 이므로

 

병에 걸렸으면서 양성 반응이 나올 확률은

$1\% \times 99\% = 0.01 \times 0.99=0.0099$가 됩니다.

 

 

그리고 병에 걸리지 않은 사람이 양성 반응이 나올 확률이 $1\%$ 이므로

 

병에 걸리지 않았으면서 양성 반응이 나올 확률은

$99\% \times 1\% = 0.99 \times 0.01=0.0099$가 됩니다.

 

 

 

그래서 양성반응이 일어날 확률은 다음과 같습니다.

 

$P(양성반응)$

$~~~=P(양성반응∩실제~그~병에~걸림)+P(양성반응∩실제~그~병에~걸리지~않음)$

$~~~=0.0099+0.0099=0.0198$

 

 

이제 구하고자 했던 양성반응이 나왔을때 실제 그 병에 걸렸을 확률은 다음과 같습니다.

 

$P(실제~그~병에~걸림 | 양성반응)=P(실제~그~병에~걸림∩양성반응)/P(양성반응)$

$~~~=0.0099/0.0198=\frac{1}{2}$

 

 

즉 $0.5$입니다.

 

직관적으로는 꽤 높아보였지만 실제로는 반밖에 안되죠?

 

왜 그럴까요? ^^