학문으로서 확률을 만든 첫 질문

 

' 두 사람이 내기를 하는데, 먼저 $3$승한 사람이 이기기로 하고 시작하다가

 

  한쪽이 $2$승 $1$패 했을 때 중간에 내기를 그만하게 되었다.

 

  이 때, 돈을 어떻게 나누어 가져야 하겠는가? '

 

 

 

 

확률이라는 학문을 만든 첫 질문으로 알려진 문제입니다.

 

이 문제를 가지고 파스칼 (위 그림)과 페르마란 사람이 편지를 주고받으면서

 

확률의 체계를 세워나가기 시작했다고 합니다.

 

 

어떻게 하면 될까요? 

 

$2$승 $1$패인 사람을 승훈이라고 하고

 

$1$승 $2$패인 사람을 지민이라고 합시다.

 

 

 

승훈이는 $1$승만하면 이기는 것이고 지민이는 $2$승을 해야 이기게 됩니다.

 

승훈이가 이길확률과 지민이가 이길 확률을 비교해보도록 합시다

 

승훈이와 지민이의 실력이 똑같다고 보면

 

경기를 계속했을때 승훈이가 $1$승을 더 올릴 확률과

지민이가 $1$승을 더 올릴 확률은 $1/2$로 같습니다.

 

따라서 승훈이가 $4$번째 판에서 $1$승을 더 올려 결과적으로 이기게 되는 확률은 $1/2$이 됩니다.

 

지민이가 $4$번째판에서 $1$승을 더 올릴 확률도 $1/2$이죠?

 

하지만 아직 지민이가 이긴것은 아니고 $2:2$의 상황이 됩니다.

 

그리고 $5$번째 판에서 승훈이가 $1$승할 확률과 지민이가 $1$승할 확률은 $1/2$도 같습니다.

 

 

결과를 정리해보면

 

승훈이가 이길 확률은

 

$4$번째판에서 $1$승하거나

$4$번째 판에서 지민이가 $1$승하고 $5$번째 판에서 승훈이가 $1$승할 확률이 되고

 

지민이가 이길 확률은

 

$4$번째 판과 $5$번째 판에서 연속으로 $1$승을 할 확률이 됩니다.

 

 

 

계산해보면

 

 

승훈이가 이길 확률은

 

$1/2 (4번째판에~승훈이~1승~할~확률) +$

 

$1/2 (4번째판에~ 지민이~ 1승~ 할~ 확률) × 1/2 (5번째판에~ 승훈이 ~1승~ 할~ 확률) = 3/4$

이 되고

 

지민이가 이길 확률은

 

$1/2 (4번째판에서~ 1승~ 할~ 확률) * 1/2 (5번째판에서~ 1승~ 할~ 확률) = 1/4$ 이 됩니다.

 

 

따라서 승훈이가 이길 확률과 지민이가 이길 확률을 비교해보면

 

$3/4 : 1/4 = 3:1$이 되므로

 

상금은 $3:1$로 나누는것이 맞습니다.