조합 (combination)

 

조합은 확률 값을 구하기 위해 경우의 수를 계산할 때 자주 사용하는 개념입니다.

 

 

 

예를들어

 

$5$장의 종이 중 $1$장의 당첨 종이가 있는 제비뽑기를 할때

 

$3$장을 뽑을 수 있다면 당첨 종이를 뽑을 확률은 얼마일까요?

 

 

이 문제를 풀기위해선

 

$5$장의 종이중에서 $3$장을 뽑는 총 경우의 수를 알아야 하는데

 

이것을 기호로 $_{5}C_{3}$이라고 적습니다.

 

여기서 $C$는 조합을 나타내는 Combination의 C를 따온것입니다.

 

 

답은 아래와 같은데

 

$$\frac{5\mbox{장의 종이 중에서 }3\mbox{장을 뽑는 모든 경우 중 당첨이 포함된 경우의 수}}{5\mbox{장의 종이 중에서 }3\mbox{장을 뽑는 모든 경우의 수}} $$

 

 

$5$장의 종이 중에서 $3$장을 뽑는 모든 경우 중 당첨이 포함된 경우의 수는

 

$3$장의 선택권 중 $1$장은 당첨 종이를 선택하였으므로

나머지 $4$장 중 $2$장을 고르는 경우의 수를 계산하면 됩니다.

 

 

따라서 답은 다음과 같이 나오게 됩니다.

 

$$_{4}C_{2} / _{5}C_{3}$$

 

 

 

이제 조합을 계산하는 방법을 알아봅시다.

 

위의 예에 나온 을 계산해보면

 

 

$5$개중에서 $3$개를 고를때

 

  첫번째 선택은 $5$개중에 하나를 고를 수 있으므로 $5$가지의 경우의 수가 있고

 

  두번째 선택은 $4$개중에 하나를 고를 수 있으므로 $4$가지의 경우의 수가 있고

 

  세번째 선택은 $3$개중에 하나를 고를 수 있으므로 $3$가지의 경우의 수가 있으므로

 

 

총 $5×4×3$개의 경우의 수가 있는데

 

이렇게 계산하면 종이를 고르는 순서가 따로따로 반영이 되어있습니다.

 

 

예를들어 첫번째 선택에서 $1$번 종이, 두번째 선택에서 $2$번 종이,

세번째 선택에서 $3$번 종이를 선택한 경우와

 

첫번째 선택에서 $3$번 종이, 두번째 선택에서 $2$번 종이,

세번째 선택에서 $1$번 종이를 선택한 경우가

 

각각 하나의 경우의 수로 계산이 되었는데

 

 

우리가 알고 싶은 값은 순서에 상관없이 $5$장중 $3$장을 선택하는 경우의 수이므로

 

$3$장의 종이에서 나올 수 있는 순서의 개수인 $3×2×1$을 나눠주면 됩니다.

 

 

따라서

 

$$_{5}C_{3}=\frac{5\times4\times 3}{3\times 2\times1}=10$$

이 됩니다.

 

 

 

일반화시켜 $n$개 중에서 $r$개를 고르는 경우의 수는

 

$n$개에서 순서를 고려해서 $r$개 선택하는 경우의 수인 $n×(n-1)×...×(n-r+1)$에서

 

$r$개에서 나올 수 있는 순서의 개수인 $r×(r-1)×...×1$을 나눠주면 됩니다.

 

 

따라서

$$_{n}C_{r}=\frac{n\times (n-1)\times\cdots\times (n-r+1)}{r\times (r-1)\times\cdots\times 1}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

 

이 됩니다.

 

 

여기서 $n! = n×(n-1)×...×2×1$입니다.