한수학

전체 확률의 법칙은 한 사건의 확률을 표본공간의 파티션을 이용하여 표현 하는 방법을 말해줍니다. $A_1,~A_2,~\cdots,~A_n$가 표본공간 $S$의 파티션일때 위 식과 같이 $P( B ) = P( A_1 ∩ B ) + P( A_2 ∩ B ) + \cdots + P( A_n ∩ B )$라고 쓰는 경우도 있고 $P( A_k ∩ B ) = P( B | A_k )P( A_k ),~1 ≤ k ≤ n$임을 이용하여 $P( B ) = P( B | A_1 )P( A_1 ) + P( B | A_2 )P( A_2 ) + \cdots + P( B | A_n )P( A_n )$이라고 쓰는 경우도 있습니다. $A_1,~A_2,~\cdots,~A_n$가 표본공간 $S$의 파티션이면 사건 $B$는 표본 집합 $S$의 부..

토마스 베이즈 ( Thomas Bayes 1701~1706 ) 베이즈 공식 (Bayes' formula)는 다음의 식을 뜻합니다. $$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$ 사건 $A,~B$가 일어날 확률과 사건 $A$가 일어난 상태에서 사건 $B$가 일어날 확률을 알고 있으면서 사건 $B$가 일어난 상태에서 사건 $A$가 일어날 확률을 계산하고 싶을 때 쓰입니다. 예를들어 [조건부 확률의 활용] 양성반응일때 실제 병에 걸려있을 확률? - 계산편 [조건부 확률의 활용] 양성반응일때 실제 병에 걸려있을 확률? - 이해편 포스팅에 있듯 병에 걸릴 확률, 양성반응이 나올 확률 그리고 병이 있을때 양성반응이 나올 확률을 이용하여 양성반응이 나왔을때 병에 걸려있을 확률을 알 수 있습니다. $A..

사진 출처 : 위키피디아 베이즈 공식 (Bayes' formula)을 이해하기 위해 우선 아래 식에 대해서만 알아보겠습니다. $$P(A∩B)=P(A|B)P(B)$$ 사실 $P( A | B )$의 정의가 $P( A ∩ B ) / P( B )$이므로 수식적으로는 당연하다고 볼 수 있습니다. 의미를 살펴볼까요? $P( A ∩ B )$는 $A$와 $B$가 동시에 일어날 확률 $P( B )$는 $B$가 일어날 확률 그리고 $P ( A | B )$는 $B$가 일어났다는 조건에서 $A$가 일어날 확률입니다. 즉 위의 식을 풀어서 적어보면 "$A$와 $B$가 동시에 일어날 확률 $P( A ∩ B )$"이 "$B$가 일어날 확률 $P( B )$"에 "$B$가 일어난 상태에서 $A$가 일어날 확률 $P ( A | B )$..

위 이미지는 확률적 독립과 상관이 없습니다. ^_^ 확률에서 두 사건이 독립은 두 사건이 서로의 확률 값에 영향을 주지 않는다는 뜻입니다. 독립이라는건 보통 상관이 없다 혹은 영향이 없다는 것으로 생각할 수 있습니다. 예를들어 지민이가 동전을 하나 던지고 하이가 주사위를 하나 던졌을때 지민이가 던진 동전이 앞면이 나오든 뒷면이 나오든 하이가 던진 주사위가 뭐가 나올지에 영향을 미치지 않겠죠? 이 경우 직관적으로도 독립이고 확률적으로도 독립이라고 할 수 있습니다. 하지만 직관적으로는 영향이 있어 보임에도 불구하고 확률적으로는 독립인 경우가 있습니다. 예를들어보겠습니다. 주사위를 두번 던졌는데 두 주사위의 차이가 $3$인 경우와 첫번째 주사위가 $4$가 나오는 경우는 독립일까요? 두 경우는 상관 관계가 있어..

조건부 확률 $P(A|B)$은 어떤 조건 $B$가 주어져있을때 어떤 사건 $A$가 일어날 확률입니다. 예를들어 주사위를 던졌는데 누가 살짝 보고 짝수다라고 알려줬을때 $2$가 나올 확률은 조건부 확률로 짝수인 조건에서 $2$가 나올 확률 $P( 2가 나옴 | 짝수 )$이 됩니다. 짝수인 조건에서 $2$가 나올 확률은 $1/3$로 아무조건이 없는 상태에서 $2$가 나올 확률인 $1/6$과는 다릅니다. 즉 짝수인 조건과 $2$가 나오는 사건사이에 어떤 상관관계가 있는것이죠 만약 조건이 있는 상태에서의 확률값과 조건이 없는 상태에서의 확률값이 같다면 ( 즉 $P( A | B ) = P( A )$인 경우 ) 그 조건과 그 사건의 관계는 어떻게 이야기할 수 있을까요? 이 경우 확률적으로 독립이라고 할 수 있습니다.

다음과 같은 상황을 생각해 봅시다. 메모리를 생산하는 회사에서 몇년간의 경험상 $100$개를 생산하면 $5$개는 테스트에서 작동이 안되고 (정상인데 테스트를 통과 못하는 경우는 없다고 가정합시다.) $10$개는 테스트에서는 작동을 하는데 출하를 하고 얼마 지나지 않아 고장이 나고 나머지 $85$개는 테스트도 통과하고 출하 이후에도 제대로 작동을 한다고 가정을 합시다. 이때 테스트를 통과한 제품이 출하 이후에도 제대로 작동할 (즉 정상일) 확률 은 얼마나 될까요? 이 문제도 조건부 확률을 이용하여 쉽게 계산할 수 있습니다. 우리가 구하고자 하는 확률은 기호로 $P( 정상 | 테스트 통과 )$라고 적을 수 있습니다. 조건부 확률에 대한 정의를 그대로 따라가보면 $P( 정상 | 테스트 통과 ) = P( 정상이..

[조건부 확률의 활용] 양성반응일때 실제 병에 걸려있을 확률? - 계산편 포스팅에서 다룬 조건부 확률 문제를 그림을 통해 쉽게 이해해 보겠습니다. 문제는 다음과 같습니다. 문제 : 어떤 병 $A$에 대한 테스트가 있다. 어떤 사람이 $A$병에 걸릴 확률은 $1\%$ 이다 즉 $100$명에 한명꼴로 $A$병에 걸린다. 이 병을 진단할수 있는 테스트가 있는데 병에 걸린사람은 $99\%$의 확률로 양성 반응이 나오고 안걸린 사람은 $1\%$의 확률로 양성반응이 나온다. (즉 오진 확률 $1\%$) 어떤 사람이 병원에 가서 테스트를 받았는데 양성반응이 나왔다면 정말로 이 사람이 $A$병에 걸렸을 확률은 얼마일까? 답은? $1/2$입니다. 진단 테스트의 신뢰성이 꽤 높아 보이지만 의외로 양성반응일때 정말로 그 병..

조건부 확률에서 자주 등장하는 문제입니다. 문제 : 어떤 병 $A$에 대한 테스트가 있다. 어떤 사람이 $A$병에 걸릴 확률은 $1\%$ 이다 즉 $100$명에 한명꼴로 $A$병에 걸린다. 이 병을 진단할수 있는 테스트가 있는데 병에 걸린사람은 $99\%$의 확률로 양성 반응이 나오고 안걸린 사람은 $1\%$의 확률로 양성반응이 나온다. (즉 오진 확률 $1\%$) 어떤 사람이 병원에 가서 테스트를 받았는데 양성반응이 나왔다면 정말로 이 사람이 $A$병에 걸렸을 확률은 얼마일까? 직관적으로는 병에 걸릴 확률도 낮고 오진확률도 낮으니깐 양성반응이 나왔을때 실제로 그 병에 걸려있을 확률이 꽤 높아 보입니다. 정말 그러한지 먼저 계산으로 알아보겠습니다. 우리가 구하는 값은 양성 반응이 나왔을때 실제 $A$병에..

처음 조건부 확률을 배울때 식으로는 그러려니 했지만 개념이 이해가 안된 경우가 많았었는데 그럴때 그림을 그려보면 쉽게 이해가 되었던것 같습니다. 예를들어 어떤 표본 공간 $S$와 두 사건 $A, ~B$가 있을때 $S$와 $A,~B$의 관계는 다음 그림과 같이 나타낼 수 있습니다. $P( A | B )$, 즉 $B$가 일어났다는 조건하에서 $A$가 일어날 확률을 생각해 봅시다. 일단 $B$가 일어난 상태이므로 $A$가 일어나려면 $A ∩ B$이 되야합니다. 예를들어 $S$를 도형의 집합이라고 하고 $A$를 삼각형의 집합, 그리고 $B$를 모든 변의 길이가 같은 도형의 집합이라고 하면 $B$가 일어났다는 조건하에서 $A$가 일어났다는것은 모든변의 길이가 같은 도형인데 삼각형인것이 되므로 정삼각형 집합 $A ..

조건부 확률 $P(A|B)$는 사건 $B$가 일어난 상태에서 사건 $A$가 일어날 확률입니다. 표본 공간과 사건 포스팅에서 나왔던 문제를 다시 봅시다. 주사위 $2$개를 던졌는데 누군가 힐끗보고 $6$이 없다고 한 상태에서 두 주사위의 차이가 $2$일 확률은? 해당 포스팅에서는 그냥 풀었는데 오늘은 조건부 확률을 이용해서 풀려고 합니다. "주사위 $2$개를 던졌을때 두 주사위의 차이가 $2$인 사건"을 $A$라고 두고 "주사위중에 $6$이 없는 사건"을 $B$라고 두면 위의 문제는 $P( A | B )$로 나타낼 수 있습니다. 주사위를 $2$개 던졌을때 두 주사위의 차이가 $2$일 확률이 아니라 주사위를 $2$개던졌는데 그중 $6$이 없는 상태에서 두 주사위의 차이가 $2$일 확률을 구하는 것이므로 즉 ..