한수학

표본 공간은 어떤 실험이나 시도의 결과로 나올 수 있는 모든 가능한 결과의 집합이고 표본 공간의 모든 부분 집합은 사건이라고 합니다. 예를들어 동전을 던졌을때 앞면이 나올 확률을 구할때 $\{앞면,~뒷면\}$이 표본 공간이 되고 $\{앞면\}$이 관심있는 사건이 됩니다. $\{뒷면\}$, $\{앞면, 뒷면\}$도 표본공간의 부분집합이므로 사건이지만 위 문제에서 관심있는 사건은 아닙니다. 사실 이런 개념을 몰라도 직관적으로 확률 값들을 구할 수 있는 경우가 많지만 직관적으로는 어려운 문제를 해결해야 하는 경우 각 용어들을 명확히 정의하고 적용하는것, 즉 해당 문제에서 표본공간이 무엇이고 고려해야하는 사건이 무엇인지를 명확하게 하는것, 이 필요하게 됩니다. 예를들어 동전을 던졌을때 앞면이 나올 확률은? 이란..

' 두 사람이 내기를 하는데, 먼저 $3$승한 사람이 이기기로 하고 시작하다가 한쪽이 $2$승 $1$패 했을 때 중간에 내기를 그만하게 되었다. 이 때, 돈을 어떻게 나누어 가져야 하겠는가? ' 확률이라는 학문을 만든 첫 질문으로 알려진 문제입니다. 이 문제를 가지고 파스칼 (위 그림)과 페르마란 사람이 편지를 주고받으면서 확률의 체계를 세워나가기 시작했다고 합니다. 어떻게 하면 될까요? $2$승 $1$패인 사람을 승훈이라고 하고 $1$승 $2$패인 사람을 지민이라고 합시다. 승훈이는 $1$승만하면 이기는 것이고 지민이는 $2$승을 해야 이기게 됩니다. 승훈이가 이길확률과 지민이가 이길 확률을 비교해보도록 합시다 승훈이와 지민이의 실력이 똑같다고 보면 경기를 계속했을때 승훈이가 $1$승을 더 올릴 확률과..

로또 당첨 확률이 정확히 얼마인지 그리고 로또는 살만한지에 대해 알아보겠습니다. 우선 로또의 당첨원리는 다음과 같습니다. $1$에서 $45$까지의 숫자중 $6$개를 뽑는데 이 $6$개의 숫자를 모두 맞추면 $1$등이됩니다. $5$개가 맞고 나머지 하나가 보너스 번호와 같으면 $2$등이고 $5$개가 맞고 보너스 번호가 같이 않으면 $3$등입니다. $4$개가 맞으면 $4$등, $3$개가 맞으면 $5$등입니다. 조합을 이용해서 로또 한장을 샀을때 $1$등이 될 확률을 간단하게 풀어보겠습니다. 로또 $1$등에 당첨 될 확률은 $1 / 45$개의 숫자 중 $6$개를 뽑았을때 나올 수 있는 모든 경우의 수가 되므로 간단하게 아래와 같습니다. $$1/ _{45}C _{6}$$ 여기서 $$1/ _{45}C _{6}=\..

조합은 확률 값을 구하기 위해 경우의 수를 계산할 때 자주 사용하는 개념입니다. 예를들어 $5$장의 종이 중 $1$장의 당첨 종이가 있는 제비뽑기를 할때 $3$장을 뽑을 수 있다면 당첨 종이를 뽑을 확률은 얼마일까요? 이 문제를 풀기위해선 $5$장의 종이중에서 $3$장을 뽑는 총 경우의 수를 알아야 하는데 이것을 기호로 $_{5}C_{3}$이라고 적습니다. 여기서 $C$는 조합을 나타내는 Combination의 C를 따온것입니다. 답은 아래와 같은데 $$\frac{5\mbox{장의 종이 중에서 }3\mbox{장을 뽑는 모든 경우 중 당첨이 포함된 경우의 수}}{5\mbox{장의 종이 중에서 }3\mbox{장을 뽑는 모든 경우의 수}} $$ $5$장의 종이 중에서 $3$장을 뽑는 모든 경우 중 당첨이 포함..

동전을 던졌을때 앞면이 나올 확률은? 답 : $1/2$ 주사위를 던졌을때 $6$이 나올 확률은? 답 : $1/6$ 위의 두가지 예는 별다른 계산 없이 직관적으로 답을 얻을수 있는 경우입니다. 좀더 복잡한 경우에 적용할 수 있도록 위의 예에서 어떻게 저 값이 나왔는지를 살펴봅시다. 우선 동전을 던졌을때 앞면이 나올 확률이 $1/2$인 이유는 무엇일까요? 동전을 던지면 앞면 혹은 뒷면이 나오게 되는데 앞면이 나올 확률과 뒷면이 나올 확률이 같으므로 $1/2$이 됩니다. 다시 말해서 $\mbox{앞면이 나오는 경우의 수 / 앞면 혹은 뒷면이 나오는 경우의 수} = 1 / 2$ 가 되는 것입니다. 주사위의 경우에도 마찬가지로 $6\mbox{이 나오는 경우의 수 / $1~6$중 하나가 나오는 경우의 수} = 1 ..