한수학

[조건부 확률의 활용] 양성반응일때 실제 병에 걸려있을 확률? - 계산편 포스팅에서 다룬 조건부 확률 문제를 그림을 통해 쉽게 이해해 보겠습니다. 문제는 다음과 같습니다. 문제 : 어떤 병 $A$에 대한 테스트가 있다. 어떤 사람이 $A$병에 걸릴 확률은 $1\%$ 이다 즉 $100$명에 한명꼴로 $A$병에 걸린다. 이 병을 진단할수 있는 테스트가 있는데 병에 걸린사람은 $99\%$의 확률로 양성 반응이 나오고 안걸린 사람은 $1\%$의 확률로 양성반응이 나온다. (즉 오진 확률 $1\%$) 어떤 사람이 병원에 가서 테스트를 받았는데 양성반응이 나왔다면 정말로 이 사람이 $A$병에 걸렸을 확률은 얼마일까? 답은? $1/2$입니다. 진단 테스트의 신뢰성이 꽤 높아 보이지만 의외로 양성반응일때 정말로 그 병..

조건부 확률에서 자주 등장하는 문제입니다. 문제 : 어떤 병 $A$에 대한 테스트가 있다. 어떤 사람이 $A$병에 걸릴 확률은 $1\%$ 이다 즉 $100$명에 한명꼴로 $A$병에 걸린다. 이 병을 진단할수 있는 테스트가 있는데 병에 걸린사람은 $99\%$의 확률로 양성 반응이 나오고 안걸린 사람은 $1\%$의 확률로 양성반응이 나온다. (즉 오진 확률 $1\%$) 어떤 사람이 병원에 가서 테스트를 받았는데 양성반응이 나왔다면 정말로 이 사람이 $A$병에 걸렸을 확률은 얼마일까? 직관적으로는 병에 걸릴 확률도 낮고 오진확률도 낮으니깐 양성반응이 나왔을때 실제로 그 병에 걸려있을 확률이 꽤 높아 보입니다. 정말 그러한지 먼저 계산으로 알아보겠습니다. 우리가 구하는 값은 양성 반응이 나왔을때 실제 $A$병에..

처음 조건부 확률을 배울때 식으로는 그러려니 했지만 개념이 이해가 안된 경우가 많았었는데 그럴때 그림을 그려보면 쉽게 이해가 되었던것 같습니다. 예를들어 어떤 표본 공간 $S$와 두 사건 $A, ~B$가 있을때 $S$와 $A,~B$의 관계는 다음 그림과 같이 나타낼 수 있습니다. $P( A | B )$, 즉 $B$가 일어났다는 조건하에서 $A$가 일어날 확률을 생각해 봅시다. 일단 $B$가 일어난 상태이므로 $A$가 일어나려면 $A ∩ B$이 되야합니다. 예를들어 $S$를 도형의 집합이라고 하고 $A$를 삼각형의 집합, 그리고 $B$를 모든 변의 길이가 같은 도형의 집합이라고 하면 $B$가 일어났다는 조건하에서 $A$가 일어났다는것은 모든변의 길이가 같은 도형인데 삼각형인것이 되므로 정삼각형 집합 $A ..

조건부 확률 $P(A|B)$는 사건 $B$가 일어난 상태에서 사건 $A$가 일어날 확률입니다. 표본 공간과 사건 포스팅에서 나왔던 문제를 다시 봅시다. 주사위 $2$개를 던졌는데 누군가 힐끗보고 $6$이 없다고 한 상태에서 두 주사위의 차이가 $2$일 확률은? 해당 포스팅에서는 그냥 풀었는데 오늘은 조건부 확률을 이용해서 풀려고 합니다. "주사위 $2$개를 던졌을때 두 주사위의 차이가 $2$인 사건"을 $A$라고 두고 "주사위중에 $6$이 없는 사건"을 $B$라고 두면 위의 문제는 $P( A | B )$로 나타낼 수 있습니다. 주사위를 $2$개 던졌을때 두 주사위의 차이가 $2$일 확률이 아니라 주사위를 $2$개던졌는데 그중 $6$이 없는 상태에서 두 주사위의 차이가 $2$일 확률을 구하는 것이므로 즉 ..

표본 공간은 어떤 실험이나 시도의 결과로 나올 수 있는 모든 가능한 결과의 집합이고 표본 공간의 모든 부분 집합은 사건이라고 합니다. 예를들어 동전을 던졌을때 앞면이 나올 확률을 구할때 $\{앞면,~뒷면\}$이 표본 공간이 되고 $\{앞면\}$이 관심있는 사건이 됩니다. $\{뒷면\}$, $\{앞면, 뒷면\}$도 표본공간의 부분집합이므로 사건이지만 위 문제에서 관심있는 사건은 아닙니다. 사실 이런 개념을 몰라도 직관적으로 확률 값들을 구할 수 있는 경우가 많지만 직관적으로는 어려운 문제를 해결해야 하는 경우 각 용어들을 명확히 정의하고 적용하는것, 즉 해당 문제에서 표본공간이 무엇이고 고려해야하는 사건이 무엇인지를 명확하게 하는것, 이 필요하게 됩니다. 예를들어 동전을 던졌을때 앞면이 나올 확률은? 이란..

동전을 던졌을때 앞면이 나올 확률은? 답 : $1/2$ 주사위를 던졌을때 $6$이 나올 확률은? 답 : $1/6$ 위의 두가지 예는 별다른 계산 없이 직관적으로 답을 얻을수 있는 경우입니다. 좀더 복잡한 경우에 적용할 수 있도록 위의 예에서 어떻게 저 값이 나왔는지를 살펴봅시다. 우선 동전을 던졌을때 앞면이 나올 확률이 $1/2$인 이유는 무엇일까요? 동전을 던지면 앞면 혹은 뒷면이 나오게 되는데 앞면이 나올 확률과 뒷면이 나올 확률이 같으므로 $1/2$이 됩니다. 다시 말해서 $\mbox{앞면이 나오는 경우의 수 / 앞면 혹은 뒷면이 나오는 경우의 수} = 1 / 2$ 가 되는 것입니다. 주사위의 경우에도 마찬가지로 $6\mbox{이 나오는 경우의 수 / $1~6$중 하나가 나오는 경우의 수} = 1 ..