σ-field (sigma field)가 되는 필요충분조건

 

 

 

 

σ-field (sigma field)는

 

공집합이 아니면서 가산번의 합집합 (countable union), 가산번의 교집합 (countable intersection)

 

그리고 여집합에 대해 닫혀있는 집합 S의 부분집합의 모임을 뜻합니다.

 

 

 

집합 S의 부분집합의 모임 A가 σ-field가 되는 필요충분 조건은 다음과 같습니다.

 

1 ) S ∈ A

 

2 ) A ∈ A 이면 A의 여집합도 A에 포함

 

3 ) A1, A2, A3, … ∈ A 이면 A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … ∈ A

 

 

집합의 모임 A가 σ-field임을 보일때

 

위의 조건을 만족하는것을 보이는것이

 

σ-field의 정의를 체크하는 것에 비해서 쉽기 때문에

 

위 조건을 활용하게 됩니다.

 

 

 

위 조건이 σ-field가 되는 필요충분조건임을 증명해보겠습니다.

 

ⅰ) 정의 => 조건

 

 

우선 A가 σ-field의 정의를 만족할때 위의 조건을 만족함을 보이겠습니다.

 

 

정의에서 A는 공집합이 아니므로

 

A에는 최소한 하나의 원소 A ∈ A가 존재합니다.

 

A는 여집합에 대해 닫혀있으므로 A의 여집합도 A에 포함되고

 

또한 A는 합집합에 대해 닫혀있으므로

 

 즉 S도 A에 포함됩니다.  -> 조건 1) 성립

 

 

정의에서 A는 여집합에 대해 닫혀있으므로  -> 조건 2) 성립

 

 

정의에서 A는 가산번의 합집합에 대해 닫혀있으므로  -> 조건 3) 성립

 

 

따라서 정의를 만족하면 위의 조건을 만족하게 됩니다.

 

 

 

ⅱ) 조건 => 정의

 

두번째로 A가 위의 조건을 만족하면 σ-field 정의를 만족하는것을 보이겠습니다.

 

 

우선 A는 조건 1)를 만족하므로 공집합이 아니고

 

조건 2)를 만족하므로 여집합에 대해 닫혀있고

 

조건 3)을 만족하므로 가산번의 합집합에 대해 닫혀있습니다.

 

 

이제 가산번의 교집합에 대해 닫혀있는것만 보이면 됩니다.

 

즉 A1, A2, A3, … ∈ A 이면 A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ … ∈ A인것을 보이면 됩니다.

 

A는 여집합에 대해 닫혀있으므로

 

도 A에 포함됩니다.

 

조건 3)을 통해서 이 A에 포함되고

 

조건 2)를 통해

 

 (드 모르간의 정리 사용)

 

도 A에 포함됩니다.

 

따라서 가산번의 교집합에 대해 닫혀있습니다.

 

 

ⅰ)  ⅱ)를 통해 σ-field의 정의와 위의 조건이 필요충분조건임을 알 수 있습니다.