한수학

R을 집합 A에서 집합 B로 정의된 관계로 두면 R의 정의역은 dom(R)로 나타내며 R의 원소 (순서쌍)에서 첫번째 원소의 집합입니다. R의 상은 im(R)로 나타내며 R의 원소 (순서쌍)에서 두번째 원소의 집합입니다. 예를들어 R = {(1,2), (2,3), (3,4)}라고 두면 dom(R) = {1, 2, 3}, im(R) = {2, 3, 4}가 됩니다.

역관계는 이항관계에서 그 관계를 갖는 원소의 순서를 바꾼것을 뜻합니다. 간단히 말해 aRb일때 Q를 R의 역관계라고 정의하면 bQa가 되는 것입니다. R의 역관계는 기호로 을 사용하며 다음과 같이 정의됩니다. 예를들어 관계 R이 남자친구 관계인 경우 aRb이면 a는 b의 남자친구이다가 됩니다. 여기서 Q를 R의 역관계라고 합시다. 그러면 Q는 aRb를 만족하는 (a,b)에 대해서 (b,a)들의 집합이 되므로 여자친구 관계라고 해석할 수 있습니다. R이 크다 관계인 경우는 R의 역관계는 작다 관계가 되겠네요

두 집합 A, B에서 정의된 관계는 A의 원소와 B의 원소로 이루어진 순서쌍의 집합을 뜻합니다. 즉 관계 R은 A와 B의 데카르트 곱의 부분집합이 됩니다. (a,b)∈R일때 aRb라고 적으며 a는 b와 R 관계이다 (a is R-related to b)라고 읽습니다. 실수의 집합에서 크다, 작다, 같다, 크거나같다 등등도 모두 관계이며 ×의 부분집합으로 정의됩니다. 어떤 관계 R의 한 원소 (a,b)를 그림으로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 관계의 특성을 이해할 때 이렇게 그림으로 나타내는 방식을 자주 사용합니다. 위의 정의는 정확히 말해 이항관계 (binary relation)입니다. 즉 어떤 두 대상 사이의 관계인 것이고 이것을 일반화시켜 n개의 대상 사이의 관계 (n항 관계 : n-ary rel..

데카르트 곱은 공집합이 아니 집합들로부터 새로운 집합을 만드는 한가지 방법입니다. 일반적으로 두 집합의 데카르트 곱을 고려하며 집합 A, B가 공집합이 아닐때 A, B의 데카르는 곱은 다음과 같이 정의됩니다. 즉, A×B는 A의 원소가 첫번째 원소, B의 원소가 두번째 원소인 순서쌍들의 집합입니다. 예를들어 A = { a, b, c }, B = { 1, 2 }이면 A×B={ (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2) }가 됩니다. 세개 이상의 집합에 대한 데카르트 곱은 다음과 같이 정의됩니다. 이것은 두 집합의 데카르트 곱을 순차적으로 적용했다고 생각하시면 됩니다. 예를들어 4개의 집합에 대한 데카르트 곱의 경우 다음과 같습니다. 실수 전체 집합 의 데카르트곱 ×은 2차원 ..

순서쌍은 임의의 두 대상 a,b의 순서를 고려한 쌍을 뜻하며 기호로 (a,b)로 나타냅니다. 개구간 (a,b)와 기호가 같지만 문맥상 헷갈리는 경우는 거의 없습니다. 순서를 고려하기 때문에 (a,b)와 (b,a)는 서로 다른 순서쌍이며 두 순서쌍 (a,b)와 (c,d)가 같다는것은 a = c 이고 b = d 라는 것과 동치입니다. 좌표평면, 행렬, 관계, 함수 등에서 많이 쓰입니다.

확률공간은 ⅰ) 표본공간 S ⅱ) S의 부분집합으로 이루어진 σ-field B ⅲ) 그리고 B에서 정의된 확률 메져 P, 이 세가지의 모임으로 정의되며 (S,B,P)로 표시됩니다. 확률적인 상황에서 나올수 있는 모든 경우의 수 (표본공간의 원소들입니다)와 그 경우의 수의 모임인 사건들 (σ-field의 원소들입니다) 그리고 각 사건의 확률값 (확률 메져에서 정의되어 있습니다)을 가지고 있는 수학적 모델링이라고 할 수 있습니다. 예를들어 주사위를 던져 짝수냐 홀수냐를 가리는 경우라고 했을때 그때의 확률 공간 (S,B,P)의 S, B, P는 다음과 같이 정의됩니다. S={1,2,3,4,5,6}, B={φ,S,{짝수},{홀수}}, P : P(φ)=0. P(S)=1, P({짝수})=1/2, P({홀수})=1/2

확률 측도 혹은 확률 함수 P는 표본 공간 S의 부분집합으로 이루어진 σ-field B를 정의역, [0,1]을 치역으로 하면서 다음 조건을 만족하는 함수를 말합니다. ⅰ ) B에 속하는 모든 원소 A에 대해서 P(A)≥0 ⅱ ) P(S)=1 ⅲ ) { An, n≥1}가 B의 원소이고 pairwise disjoint이면 위의 정의가 우리가 알고 있는 확률의 수학적 정의입니다.

$\infty$ infinity $A = B$ A equals B, 또는 A is equal to B $A / B$ A divided by B, 또는 A over B $A×B=C$ A times B equals C, 또는 A multiplied by B equeal C $A^2$ A squared $A^3$ A cubed $A^4$ A to the fourth $A^n$ A to the n, 또는 A to the n-th $f(x)$ f of x $f'(x)$ f dash x, 또는 f prime of x, 또는 the (first) derivative of f with respect to x $f''(x)$ f double dash x, 또는 the second derivative of f with r..

구간 (interval)은 실수의 집합 중에서 그 집합의 임의의 두 원소 사이의 원소가 모두 그 집합에 포함되는 집합입니다. 구간은 끝점 (end point)의 포함 여부에 따라 개구간, 폐구간등으로 나눠 집니다. 임의의 실수 a, b가 a＜ b일때 { x ∈ | a ＜ x ＜ b }는 a, b에 의해 정해지는 개구간 (open interval)이라고 하고 기호로 (a,b)로 나타냅니다. { x ∈ | a ≤ x ≤ b }는 a, b에 의해 정해지는 폐구간 (closed interval)이라고 하고 기호로 [a,b]로 나타냅니다. { x ∈ | a ≤ x ＜ b } 또는 { x ∈ | a ＜ x ≤ b }는 a, b에 의해 정해지는 반개구간 (half-open interval) 이라고 하고 기호로 [a,..

우선 field 혹은 σ-field가 되는 조건과 정의는 다음의 포스팅을 참고하시면 됩니다. 참고 : field와 σ-field (sigma field) σ-field (sigma field)가 되는 필요충분조건 field가 되는 필요충분조건 가산번의 합집합과 교집합에 닫혀있으면 유한번의 합집합과 교집합에 닫혀있으므로 A가 σ-field이면 A는 field도 됩니다. 표본 공간 S의 부분집합의 모임 A가 σ-field가 되는 가장 간단한 예로 S의 멱집합 와 { S, Ø }가 있습니다. 멱집합은 모든 부분집합의 모임이니 공집합도 아니고 가산번의 합집합과 교집합, 그리고 여집합에 대해 닫혀있게 됩니다. { S, Ø }는 딱 봐도 닫혀있죠? ^^ field가 되면서 σ-field가 되지않는 예를 찾으려면 유..