한수학

해석학의 내용은 Robert G. Bartle과 Donald R. Sherbert의 Introduction to REAL ANALYSIS 3rd edition을 기초로 만들어 집니다. 저작권의 범위가 어떤지 잘 몰라서 정리 (theorem)의 순서만 차용하고 증명은 그림 등을 활용하여 좀 더 쉽게 적으려고 노력하겠습니다. 혹시 저작권에 관해 아신다면 알려주세요 ^^

그동안 수식입력을 할 때 최대한 텍스트 형식으로 입력하고 텍스트 형식으로 입력할 수 없는 경우 티스토리에서 제공하는 수식 입력기를 이용하였습니다. 하지만 티스토리에서 제공하는 수식 입력기를 이용하면 텍스트와 줄이 잘 맞지않아 가독성이 떨어지는 느낌이 들었습니다. 예를들어 : 텍스트 ,

표본 공간이 가산적인 경우 다음과 같이 확률 함수를 정의 할 수 있습니다. 표본 공간이 가산적인 경우 표본공간 $S=\{s_1,~s_2,~s_3,~\cdots\}$의 각 원소 $s_i,~i\ge 1$에 확률 값 $p_i,~i\ge 1$을 다음과 같이 줄 수 있습니다. 모든 $i$에 대해$p_i\ge 0$이고 $\sum_{i=1}^{\infty}{p_i}=1$ 확률 공간에 사용될 σ-field B를 표본 공간의 멱집합으로 정의하고 B의 원소 B에 대해 확률 함수를 다음과 같이 정의합니다. $$P(B)=\sum_{i|s_i\in B}{p_i}$$ 이렇게 정의된 P는 확률 함수의 조건을 만족 합니다 ^^ 관련 글 : 확률 측도 (probability measure) 혹은 확률 함수 (probability fu..

디감마 함수는 감마함수를 로그 취한뒤 미분을 한 함수입니다.

확률 함수의 정의를 이용하여 다음과 같은 유용한 (그리고 우리가 확률에 대해 알고있는 상식과 일치하는) 여러가지 성질을 유도할 수 있습니다. 관련글 : 확률 측도 (probability measure) 혹은 확률 함수 (probability function) ⅰ) A ⊂ B 이면 P(A) ≤ P(B) 증명 : P의 정의역은 σ-field이므로 B-A도 또한 P의 정의역에 포함됩니다. 즉 P(B-A) 값이 존재합니다. B=A∪(B-A) 이므로 확률 함수의 조건 ⅲ)에 의해 P(B) = P(A) + P(B-A) 확률 함수의 조건 ⅰ)에 의해 P(B-A) ≥ 0 따라서 P(B) = P(A) + P(B-A) ≥ P(A) ⅱ) 증명 : A와 A의 여집합은 전체집합 S의 파티션입니다. 그래서 확률 함수의 조건 ⅲ)..

누적 분포 함수 혹은 분포 함수 F는 실수 전체 집합 에서 정의되고 [0,1]에서 값을 가지는 F : →[0,1] 다음의 세가지 조건을 만족하는 함수를 말합니다. ⅰ) 우연속 ⅱ) 단조 비감소 ⅲ) 예) P가 확률 측도 함수일때 F(x)=P((-∞,x]), x∈ 는 누적 분포 함수가 됩니다.

확률 함수의 정의역은 σ-field 입니다. 관련글 : 확률 측도 (probability measure) 혹은 확률 함수 (probability function) 왜 확률에서 σ-field가 사용될까요? 확률을 사용하는 방식을 보면 알 수가 있습니다. 예를들어 트럼프에서 임의로 한장을 뽑을때 A를 다이아가 나오는 사건 B를 홀수가 나오는 사건이라고 정의하면 다이아가 나올 확률 P(A), 홀수가 나올 확률 P(B) 뿐만 아니라 다이아가 나오지 않을 확률 , 홀수가 나오지 않을 확률 도 생각을 합니다. 다시말해 어떤 사건 A에 대한 확률 값이 있다면 A의 여집합에 대한 확률 값도 있어야하는데 이것은 확률 함수의 정의역이 여집합에 대해서 닫혀있어야 가능합니다. 그리고 위의 예에서 홀수가 나오거나 다이아가 나올..

감마함수는 실수 부분이 양수인 복소수 영역에서 다음과 같이 정의되며 해석 접속법 (analytic continuation)을 통해 음의 정수와 $0$을 제외한 전체 복소수 영역으로 정의역이 확장됩니다. 양의 정수 n에 대한 감마 함수 값은 다음과 같습니다. 베타함수와는 다음과 같은 관계를 가집니다. 수치적으로 값을 구할때 다음과 같은 점근 전개를 사용할 수 있습니다. 여기서 $B_n$은 베르누이 수, $z$의 실수 부분은 양수이고 절대값이 충분히 커야합니다. 출처 : http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_formula

감마 함수, 베타 함수, 제타 함수 등등 이름이 있는 유명한 함수를 설명하려고 합니다. 이 메뉴에 있는 정보는 바이도도 (Byedodo - http://www.byedodo.com/))에서 수행중인 창의도전형 R&D 사업에서 수치해석 함수를 알고리즘화 하는 작업에 참여하며 얻은 정보임을 밝혀둡니다.

집합 A에서 집합 B로 정의된 함수 f는 다음 두가지 조건을 만족하는 관계입니다. ⅰ) 정의역이 A와 같습니다 : dom(R) = A 즉 모든 a∈A에 대해서, (a,b)∈f를 만족하는 b가 집합 B에 존재합니다. (A의 원소중 f의 정의에 사용되지 않은 것이 없다는 뜻입니다.) ⅱ) (a,b)∈f 이고 (a,c)∈f 이면 b=c 즉 정의역의 한 원소에 (f를 통해) 대응하는 상의 원소의 개수는 하나라는 뜻입니다. 예를들어 다음 그림과 같이 정의된 관계 f의 경우 : f = {(δ,a), (γ,b)} ω∈A가 관계 f의 정의역에 포함되지 않으므로 조건ⅰ)을 만족시키지 않아 함수가 되지 않습니다. 그리고 관계 f가 다음 그림과 같이 정의된 경우 : f = {(ω,c), (δ,a), (δ,c), (γ,b)}..