확률 공간 만들기 (표본 공간이 가산인 경우)

표본 공간이 가산적인 경우 다음과 같이 확률 함수를 정의 할 수 있습니다.

표본 공간이 가산적인 경우

표본공간 $S=\{s_1,~s_2,~s_3,~\cdots\}$의 각 원소 $s_i,~i\ge 1$에 확률 값 $p_i,~i\ge 1$을 

다음과 같이 줄 수 있습니다.

모든 $i$에 대해$p_i\ge 0$이고 $\sum_{i=1}^{\infty}{p_i}=1$

확률 공간에 사용될 σ-field B를 표본 공간의 멱집합으로 정의하고

B의 원소 B에 대해 확률 함수를 다음과 같이 정의합니다.

$$P(B)=\sum_{i|s_i\in B}{p_i}$$

이렇게 정의된 P는 확률 함수의 조건을 만족 합니다 ^^

     관련 글 : 확률 측도 (probability measure) 혹은 확률 함수 (probability function)

조건 ⅰ), ⅱ)는 바로 확인이 되므로 넘어가고

조건 ⅲ)만 확인해보겠습니다.

$\{ An, n\ge 1\}$가 B의 원소이고 pairwise disjoint이면

조건 ⅲ)이 성립하고 P가 확률 함수임이 증명되었습니다.

B는 표본 공간 S의 멱집합으로 σ-field입니다. 

따라서 $\left( S,~\mathcal{B},~P \right)$ 는 확률 공간이 됩니다.