확률 측도 함수의 여러가지 성질

확률 함수의 정의를 이용하여

다음과 같은 유용한 (그리고 우리가 확률에 대해 알고있는 상식과 일치하는) 

여러가지 성질을 유도할 수 있습니다.

     관련글 : 확률 측도 (probability measure) 혹은 확률 함수 (probability function)

  ⅰ)  A ⊂ B 이면 P(A) ≤ P(B)

   증명 : P의 정의역은 σ-field이므로 B-A도 또한 P의 정의역에 포함됩니다.

            즉 P(B-A) 값이 존재합니다.

            B=A∪(B-A) 이므로 

            확률 함수의 조건 ⅲ)에 의해 P(B) = P(A) + P(B-A)

            확률 함수의 조건 ⅰ)에 의해 P(B-A) ≥ 0

            따라서 P(B) = P(A) + P(B-A) ≥ P(A)

  ⅱ)  

증명 : A와 A의 여집합은 전체집합 S의 파티션입니다.

         그래서 확률 함수의 조건 ⅲ)에 의해 

         확률함수의 조건 ⅱ)에 의해 P(S)=1

         따라서 

  ⅲ)  P(Ø) = 0

증명 : S ∪ Ø = S 이고 S ∩ Ø = Ø이므로

          P(S) = P(S) + P(Ø), 여기서 P(S)=1이므로 P(Ø)=0

  ⅳ)  P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

증명 : A-B, B-A, A ∩ B는 A ∪ B의 파티션입니다.

        확률 함수의 조건 ⅲ)에 의해 P(A ∪ B) = P(A-B)+P(B-A)+P(A ∩ B)가 됩니다.

        여기서 A는 A-B와 A ∩ B로 파티션되고

        B는 B-A와 A ∩ B로 파티션됩니다.

        따라서 확률 함수의 조건 ⅲ)에 의해

        P(A) = P(A-B) + P(A ∩ B), P(B) = P(B-A) + P(A ∩ B)가 됩니다.

        정리하면 P(A ∪ B) = P(A-B) + P(B-A) + P(A ∩ B)

                                   = P(A-B) + P(B-A) + P(A ∩ B) + P(A ∩ B) - P(A ∩ B)

                                   = P(A-B) + P(A ∩ B) + P(B-A) + P(A ∩ B) - P(A ∩ B)

                                   = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

        이건 벤다이어 그램을 그려보시면 쉽게 이해가 됩니다 ^^

        추가적으로 확률 함수의 조건 ⅰ)에 의해 P(A ∩ B) ≥ 0이므로 

        P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B)가 됩니다.

  ⅴ) 저가산성 (subadditivity) : 

  증명 : 수학적 귀납법을 이용해서 증명해보겠습니다.

           n=1일때는 당연히 되겠죠? 

           n=k일때 성립한다고 가정하고 n=k+1일때 성립하면 보이면 됩니다.

         

           이므로 위의 ⅳ)에 의해 가 됩니다.

           n=k일때는 성립하므로 

           정리하면 가 됩니다.