확률공간에서 σ-field를 사용하는 이유

확률 함수의 정의역은 σ-field 입니다.

     관련글 : 확률 측도 (probability measure) 혹은 확률 함수 (probability function)

왜 확률에서 σ-field가 사용될까요?

확률을 사용하는 방식을 보면 알 수가 있습니다.

예를들어

트럼프에서 임의로 한장을 뽑을때

A를 다이아가 나오는 사건

B를 홀수가 나오는 사건이라고 정의하면

다이아가 나올 확률 P(A), 홀수가 나올 확률 P(B) 뿐만 아니라

다이아가 나오지 않을 확률 , 홀수가 나오지 않을 확률 도 생각을 합니다.

다시말해

어떤 사건 A에 대한 확률 값이 있다면

A의 여집합에 대한 확률 값도 있어야하는데

이것은 

확률 함수의 정의역이 여집합에 대해서 닫혀있어야 가능합니다.

그리고 위의 예에서 홀수가 나오거나 다이아가 나올 확률 P(A ∪ B)

다이아 홀수가 나올 확률 P(A ∩ B)도 정의가 되어야 합니다.

즉 A ∪ B, A ∩ B의 확률값도 있어야 하므로

확률 함수의 정의역이 합집합과 교집합에 대해서 닫혀 있어야 합니다.

유한번의 합집합 / 교집합에 대해서만 닫혀있으면

사건들의 무한 합집합 / 교집합에 대한 확률 값을 줄 수 없으므로

가산번의 합집합 / 교집합에 대해서 닫혀있어야 하며 

임의의 합집합 / 교집합 (arbitrary union / intersection)에 대해 닫혀있으려면

확률 값을 줄 수 없는 사건 (nonmeasurable event)이 생기기 때문에

가산번의 합집합 / 교집합에 대해서만 닫혀있는 조건을 주게 됩니다.

확률 함수의 정의에서 표본 공간 전체에 대한 확률 값을 1 (P(S)=1)로 했으므로

확률 함수의 정의역은 표본 공간을 포함하므로 공집합이 아니고

위의 조건에 따라 여집합에 대해 닫혀있고

가산번의 합집합 / 교집합에 대해 닫혀있음 을 만족해야 하므로

σ-field가 정의역으로 사용됩니다.