한수학

수렴하는 수열의 합과 차도 수렴하는지 알아보겠습니다. 두 수열 $(x_n),~(y_n)$이 각각 극한값 $x,~y$를 가진다고 가정하겠습니다. 이 때 수열 $(x_n+y_n)$이 수렴하느냐의 문제인데 수렴할까요? 수렴의 정의에 따라 임의의 $\epsilon>0$에 대해 수열 $(x_n),~(y_n)$은 각각 자연수 $N_x(\epsilon),~N_y(\epsilon)$을 가져 수열 $(x_n)$은 $N_x(\epsilon)$이상의 모든 자연수 $n$에 대해 $|x_n-x|

$\epsilon$-근방은 $\epsilon$만큼의 거리에 있는 모든 원소들의 모임을 뜻합니다. 즉 점 $x$에 대한 $\epsilon$-근방 $B_{\epsilon}(p)$는 다음과 같이 정의됩니다. $$B_{\epsilon}(p)=\{x\in\mathbb{R}~|~|p-x|

해석학에서 자주 쓰이는 정리인 수렴하는 수열은 유계이다를 증명하도록 하겠습니다. 직관적으로 어떤 수열이 수렴하면 유한개를 제외한 나머지 모든 수열값들은 극한값의 $\epsilon$-근방에 포함된다는 것이므로 모든 수열값의 절대값은 처음 유한개중에 가장 큰 값과 극한값+$\epsilon$ 중 큰 값보다는 작거나 같게됩니다. 증명을 해보겠습니다. 수열 $(x_n)$의 극한값이 $x$일때 $\epsilon$을 $1$로 두면 그에대한 자연수 $N(\epsilon)=N(1)$이 존재해서 $n\ge N(1)$에 대해 $|x_n-x|

수열 $(x_n)$의 모든 원소의 절대값이 어떤 실수 $M>0$보다 작거나 같은경우 수열 $(x_n)$은 유계라고 합니다. 즉 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $|x_n|\le M$인 실수 $M>0$이 존재하면 수열 $(x_n)$은 유계입니다. 유계가 아닌 경우 비유계 (unbounded)라고 합니다. 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $x_n\le A$인 실수 $A$가 존재하면 수열 $(x_n)$은 위로 유계 (bounded above)라고 하고 $A$는 상계 (upper bound)라고 합니다.. 상계 중에 가장 작은 상계는 최소 상계 (least upper bound)라고 합니다. 그리고 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $x_n\ge B$인 실수 $B$가 존재하면..

수열 $(x_n)$의 극한값이 $x$인것을 증명하는 방법으로 수열의 극한값에 대한 정의를 바로 적용할수도 있고 경우에 따라 다른 충분조건을 통해 증명할 수 있습니다. 다음은 그 충분조건중 하나입니다. $(a_n)$이 극한값이 $0$인 양수 수열일때 다음을 만족하는 자연수 $m$과 상수 $C>0$가 존재하면 $$\mbox{$m$이상의 모든 $n$에 대해 }~|x_n-x|\le Ca_n$$ 수열 $(x_n)$은 $x$를 극한값으로 가집니다. 직관적으로 $(a_n)$이 $0$에 계속 가까워져 $x_n$과 $x$의 차이가 $0$에 가까워지므로 $x$가 $x_n$의 극한값이 될것으로 예상됩니다. 증명을 해보도록 하겠습니다. 수열의 극한에 대한 정의에 따라 임의의 $\epsilon>0$에 대해 자연수 $N(\eps..

수학에서 귀류법 · 배리법은 증명하려는 명제의 결론이 부정이라는 것을 가정하였을 때 모순되는 가정이 나온다는 것을 보여, 원래의 명제가 참인 것을 증명하는 방법이다. -출처 : 위키피디아 어떤 명제를 증명하고자 할때 직접적인 증명이 어려운 경우 결론이 아니라고 가정하고 논리를 전개시켜서 결국 모순이 나오는것을 보여 결론을 부정한 처음의 가정이 잘못되었음을 보이는 방법으로 결론을 증명하는 방법입니다. 예) 무리수가 유리수가 아님을 보이는 경우 수열의 극한이 유일함을 보이는 경우

수열의 극한이 유일한가에 대해서 알아보겠습니다. 극한이 유일하다는 것은 수열 $x_{n}$의 모든 부분 수열 (예) $x_{2n},~x_{2n+1},~x_{3n},~\cdots$)이 같은 극한값을 갖는다는 뜻입니다. 직관적인 증명은 다음과 같습니다. 수열 $(x_n)$이 극한값 $x$를 가지면 극한의 정의에 따라 임의의 $\epsilon$에 대해 어떤 자연수 $N(\epsilon)$이 존재해서 $N(\epsilon)$번째 부터의 "모든" 수열값 즉 $x_{N(\epsilon)},~x_{N(\epsilon)+1},~x_{N(\epsilon)+2},~\cdots$ 가 $(x-\epsilon,~x+\epsilon)$에 들어갑니다. 그러면 당연히 모든 부분수열의 값도 $(x-\epsilon,~x+\epsilon..

네이버에서 수열의 극한으로 검색하면 다음과 같이 나옵니다. 무한수열 $(x_n)$에서 $n$이 무한히 커짐에 따라 $x_n$이 일정한 값 $x$에 한없이 가까워지면, $x$를 그 수열의 극한 또는 극한값 (limit value)이라 하고,$$\lim_{n\rightarrow\infty}{x_n}=x$$로 나타낸다. -출처 : 두산백과 극한값이 존재하는 경우 그 수열이 수렴한다고 합니다. 대충 감이 오시죠? 예를들어 수열 $(x_n)$을 다음과 같이 정의했을때 $$x_n=\frac{1}{n}$$ $n$이 무한히 커짐에 따라 $0$에 한없이 가까워짐을 알기 때문에 $0$이 수열 $(x_n)$의 극한값이라고 할 수 있습니다. 이처럼 위 설명은 수열의 극한이 무엇인지 감을 잡게해주지만 "가까워진다", "한없이"..

수열의 정의는 주로 두가지로 나누어 집니다. 첫번재로 $n$번째 항 $x_n$의 값을 공식을 이용해 정의해주는 방법이 있고 두번재로 $x_n$의 값을 다른 항과의 관계를 통해서 정의하는 방법이 있습니다. 예를들어 다음과 같은 수열의 경우 $2,~4,~6,~8,~,10~,\cdots$ 다음과 같이 정의 할 수 있습니다. $x_n=2n$ 혹은 $x_1=2,~x_n=x_{n-1}+2$ 위에 제시된 방법 외에도 규칙없이 무작위로 숫자를 나열하여 수열을 정의하는 방법도 있고 $\pi$같은 무한소수를 이용하여 수열을 정의하는 방법 등도 있습니다.

수열은 순서가 있는 수의 모임을 말합니다. 다르게 정의하면 자연수 집합을 정의역으로 하고 실수값을 가지는 함수입니다. 예를들어 $0.2, ~0.4, ~0.6,~\cdots$와 같은 수열은 단순히 자연수에 $0.2$를 곱한 수들을 모은 집합이 아니라 $0.2$가 제일 처음, $0.4$가 두번째, $\cdots$ 이런 식으로 순서를 가지고 있는 수의 모임입니다. 함수를 이용하여 정의해보면 $X$를 주어진 수열이라고 하였을때 $X$는 자연수에서 정의되고 다음과 같이 값을 가지는 함수라고 할 수 있습니다. $$X(1)=0.2,~X(2)=0.4,~\cdots,X(n)=0.2n$$ $X$가 수열인 경우 $n$번째 원소의 값은 $x_n$으로 나타내며 수열 전체는 $X$ 혹은 $(x_n)$으로 나타냅니다.