수열의 수렴에 대한 충분조건

수열 $(x_n)$의 극한값이 $x$인것을 증명하는 방법으로 

수열의 극한값에 대한 정의를 바로 적용할수도 있고

경우에 따라 다른 충분조건을 통해 증명할 수 있습니다.

다음은 그 충분조건중 하나입니다.

$(a_n)$이 극한값이 $0$인 양수 수열일때

다음을 만족하는 자연수 $m$과 상수 $C>0$가 존재하면

$$\mbox{$m$이상의 모든 $n$에 대해 }~|x_n-x|\le Ca_n$$

수열 $(x_n)$은 $x$를 극한값으로 가집니다.

직관적으로 $(a_n)$이 $0$에 계속 가까워져

$x_n$과 $x$의 차이가 $0$에 가까워지므로

$x$가 $x_n$의 극한값이 될것으로 예상됩니다.

증명을 해보도록 하겠습니다.

수열의 극한에 대한 정의에 따라

임의의 $\epsilon>0$에 대해 자연수 $N(\epsilon)$이 존재해서

$N(\epsilon)$이상의 모든 자연수 $n$에 대해 $|x_n-x|<\epsilon$인것을 보이면 됩니다.

우선 $\lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=0$이므로 임의의 $\epsilon$에 대해

다음을 만족하는 자연수 $N(\epsilon /C)$이 존재합니다.

$$\mbox{ $N(\epsilon /C)$ 이상의 모든 $n$에 대해 }~|a_n-0|< \epsilon /C$$

$K$를 $N(\epsilon /C)$와 $m$중 큰 수로 잡으면

$K$이상의 모든 자연수 $n$에 대해 다음이 성립합니다.

$$|x_n-x|\le Ca_n<C\times \epsilon /C=\epsilon$$

예를들어

수열 $(\frac{1}{2+3n})$의 수렴성을 보일때

수열 $(1/n)$이 $0$으로 수렴한다는것과

$(\frac{1}{2+3n})<\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{n}$인것을 알고있으므로

다음을 통해 수열 $(\frac{1}{2+3n})$이 $0$으로 수렴함을 보일 수 있습니다.

$$\mbox{모든 자연수 $n$에 대해 }~|\frac{1}{2+3n}-0|\le \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{n}$$

수열의 극한에 대한 정의를 직접 이용하는것보다 편리하겠죠? ^^