한수학

수축하는 수열은 인접한 수열 값과의 차이가 점점 줄어드는 수열을 말합니다. 정의는 다음과 같습니다. 모든 자연수 $n$에 대해 $|x_{n+2}-x_{n+1}|\leq C|x_{n+1}-x_n|$을 만족하는 $0$과 $1$사이의 상수 $C$가 있는 수열 $(x_n)$을 수축하는 수열이라고 합니다. 이때 상수 $C$를 수축하는 수열의 상수라고 합니다.

코시 수렴 기준은 다음과 같습니다. 수열이 수렴하는 것과 코시 수열인 것은 필요충분조건이다. 즉 수렴하면 코시 수열이고 코시 수열이면 수렴한다는 것입니다. 우선 수열 $(x_n)$이 수렴하면 코시 수열임을 증명하겠습니다. 극한값을 $x$로 두겠습니다. $(x_n)$이 수렴하므로 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $N(\epsilon/2)$이 존재하여 모든 $n\geq N(\epsilon/2)$에 대해 $|x_n-x|

수식이 깔끔하게 보이지 않는 경우가 있는데 익스플로어에서는 깔끔하게 보입니다. 크롬의 경우는 조금 굵게 나오고 아래첨자의 아래첨자가 아래첨자와 잘 구분되지 않게 나옵니다.

코시 수열은 유계입니다. 증명은 다음과 같습니다. 코시 수열의 정의에 따라 임의의 $\epsilon>0$에 대해 자연수 $H(\epsilon)$이 존재하여 모든 자연수 $n,~m\geq H(\epsilon)$에 대해 $|x_n-x_m|

코시 수열은 개념적으로 아래 그림과 같이 유한개의 원소를 를 뺀 나머지 수열의 수열 값 차이가 모두 특정한 값 이하인 수열을 뜻합니다. 정확한 정의는 다음과 같습니다. 임의의 $\epsilon>0$에 대해 자연수 $H(\epsilon)$이 존재하여 $n,~m\geq H(\epsilon)$을 만족하는 모든 자연수 $n,~m$에 대해 $|x_n-x_m|

소개드릴 정리는 다음과 같습니다. 수렴하는 부분 수열이 모두 $x$로 수렴하는 유계 수열은 $x$로 수렴한다. 모든 부분 수열이 $x$로 수렴하는 것이 아니라 수렴하는 부분 수열이 $x$로 수렴하는 것에 유의합니다. 볼차노 바이어슈트라스 정리를 통해 유계 수열이 반드시 수렴하는 부분 수열을 가진다는 것을 알 수 있고 이 정리를 통해 수렴하는 부분 수열들이 모두 같은 값으로 수렴한다면 원래의 수열도 그 값으로 수렴한다는 것을 알 수 있습니다. 증명은 다음과 같습니다. 수열 $(x_n)$이 모든 자연수 $n$에 대해 $|x_n|0$와 부분 수열 $(x_{n_k})$가 존재해서 모든 자연수 $k$에 대해 $|x_{n_k}-x|>\epsilon_0$을 만족합니다. 참고 : 수열이 x로 수렴하지 않을 조건 수열 ..

볼차노 바이어슈트라스 정리는 다음과 같습니다. 유계 수열은 수렴하는 부분 수열을 가진다. 간단하지만 각종 증명에 자주 쓰이는 파워풀한 정리입니다 ^^ 증명도 간단합니다. 단조 수렴 정리와 단조 부분 수열 정리를 합치면 바로 나옵니다. 참고 : 단조 수렴 정리 (monotone convergence theorem) 단조 부분 수열 정리 (monotone subsequence theorem) 단조 부분 수열 정리로 부터 모든 수열이 단조 부분 수열을 가진다는것을 알고있습니다. 유계 수열도 당연히 단조 부분 수열을 가지게 되는데 유계 수열의 부분 수열도 유계이므로 유계 수열의 부분 수열은 단조 유계가 됩니다. 따라서 단조 수렴 정리에 의해 수렴한다는것을 알수있습니다.

단조 부분 수열 정리는 다음과 같습니다. 모든 수열은 단조 부분 수열을 가진다. 간단하죠? 다시 말하면 수열 $(x_n)$이 어떤 방식으로 정의되든 상관없이 단조 증가 부분 수열 $(x_{n_k})$ 혹은 단조 감소 부분 수열 $(x_{r_k})$을 가진다는 것입니다. 증명은 다음과 같습니다. 모든 수열은 자신 이후의 모든 수열 값이 자기 보다 작거나 같은 수열이 (예를들어 $x_m$이 그런 수열이라면 자연수 $m$보다 크거나 같은 모든 자연수 $n$에 대해 $x_m\geq x_n$을 만족합니다.) 유한개인 경우와 무한개인 경우로 나뉘어 집니다. 무한개인 경우는 그런 수열 값에 해당하는 index를 순서대로 $m_1,~m_2,~m_3,~\cdots$라고 했을때 $x_{m_1}\geq x_{m_2}\geq..

수열 $(x_n)$이 다음 중 하나의 조건을 만족할때 발산합니다. 1) 극한 값이 다른 두 부분 수열 $(x_{n_k}),~(x_{r_k})$이 존재할 경우 2) 수열 $(x_n)$이 비유계이다. 증명 : 수열 $(x_n)$이 $x$로 수렴할때 수열 $(x_n)$의 모든 부분 수열도 $x$로 수렴하므로 참고 : 수렴하는 수열의 부분 수열은 모두 수렴한다. 1)의 조건을 만족하면 발산하게 됩니다. 또한 수렴하는 수열은 유계이므로 참고 : 수렴하는 수열은 유계이다. 2)의 조건을 만족하면 발산하게 됩니다.

수열 $(x_n)$이 발산한다는 것과 동치인 조건을 알아보도록 하겠습니다. 수열 $(x_n)$에 대해 다음이 동치입니다. 1) $(x_n)$이 $x$로 수렴하지 않는다. 2) 다음을 만족하는 $\epsilon_0$가 존재한다. 모든 자연수 $k\in$ 에 대해 $n_k\geq k$가 있어 $|x_{n_k}-x|\geq \epsilon_0$ 3) 다음을 만족하는 $\epsilon_0$과 부분 수열 $(x_{n_k})$가 존재한다. 모든 자연수 $k$에 대해 $|x_{n_k}-x|\geq\epsilon_0$ 증명 : 1) => 2) : 사실 2)는 수열 $(x_n)$이 $x$로 수렴한다 즉 임의의 $\epsilon>0$에 대해 자연수 $N(\epsilon)$이 있어 모든 $n>N(\epsilon)$에 대해 ..