코시 수렴 기준 (Cauchy Convergence Criterion)

코시 수렴 기준은 다음과 같습니다.

수열이 수렴하는 것과 코시 수열인 것은 필요충분조건이다.

즉 수렴하면 코시 수열이고

코시 수열이면 수렴한다는 것입니다.

우선 수열 $(x_n)$이 수렴하면 코시 수열임을 증명하겠습니다.

극한값을 $x$로 두겠습니다.

$(x_n)$이 수렴하므로 임의의 $\epsilon>0$에 대해

$N(\epsilon/2)$이 존재하여 모든 $n\geq N(\epsilon/2)$에 대해

$|x_n-x|<\epsilon/2$을 만족합니다.

     참고 : 수열의 극한 (limit of a sequence)과 수렴

따라서 $N(\epsilon/2)$보다 크거나 같은 모든 자연수 $n,~m$에 대해 다음을 만족하여

$|x_n-x_m|=|x_n-x+x-x_m|\leq |x_n-x|+|x_m-x|<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon$

코시 수열이 됩니다.

이제 수열 $(x_n)$이 코시 수열이면 수렴함을 증명하겠습니다.

코시 수열은 유계이므로 

     참고 : 코시 수열은 유계이다.

단조 수렴 정리에 의해 수렴하는 부분 수열 $(x_{n_k})$을 가집니다.

     참고 : 단조 수렴 정리 (monotone convergence theorem)

$(x_{n_k})$의 극한값을 $x$로 두겠습니다.

$(x_n)$이 코시 수열이므로 임의의 $\epsilon>0$에 대해

$H(\epsilon/2)$이 존재하여 모든 자연수 $n,~m\geq H(\epsilon/2)$에 대

 $|x_n-x_m|<\epsilon/2$을 만족합니다.

     참고 : 코시 수열 (Cauchy sequence)이란?

따라서

$n,~n_k\geq H(\epsilon/2)$에 대해 $|x_n-x_{n_k}|<\epsilon/2$을 만족합니다.

그리고 $(x_{n_k})$은 $x$로 수렴하므로

$N(\epsilon/2)$이 존재하여 모든 $n_k\geq N(\epsilon)$에 대해 $|x_{n_k}-x|<\epsilon/2$를 만족합니다.

그러므로 다음을 만족하여 수렴함을 보이게 됩니다.

$|x_n-x|=|x_n-x_{n_k}+x_{n_k}-x|\leq |x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-x|<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon$