수축하는 수열은 코시이고 따라서 수렴한다.

수열 $(x_n)$이 수축하는 수열일때

코시 수열이 되고 따라서 수렴함을 보이겠습니다.

     참고 : 수축하는 수열 (contractive sequence)이란?

             코시 수렴 기준 (Cauchy Convergence Criterion)

우선 수열 $(x_n)$이 수축하는 수열이므로 $0<C<1$이 존재하여

모든 자연수 $n$에 대해 다음이 성립합니다.

$|x_{n+1}-x_n|\leq C|x_n-x_{n-1}|\leq C^2|x_{n-1}-x_{n-2}|\leq \cdots\leq C^{n-1}|x_2-x_1|$

따라서 두 자연수 $m>n$에 대해 다음이 성립합니다.

$|x_m-x_n|=|x_m-x_{m-1}+x_{m-1}-x_{m-2}+x_{m-2}-\cdots-x_{n+1}+x_{n+1}-x_n|$

$~~~\leq |x_m-x_{m-1}|+|x_{m-1}-x_{m-2}|+\cdots+|x_{n+1}-x_n|$

$~~~\leq C^{m-2}|x_2-x_1|+C^{m-3}|x_2-x_1|+\cdots+C^{n-1}|x_2-x_1|$

$~~~=(C^{m-2}+C^{m-3}+\cdots+C^{n-1})|x_2-x_1|$

$~~~=\frac{C^{n-1}(1-C^{m-n})}{1-C}|x_2-x_1|\leq C^{n-1}\frac{1}{1-C}|x_2-x_1|$

$C\in (0,1)$이므로 $\lim_{n\rightarrow\infty}{C^n}=0$이 됩니다.

$|x_2-x_1|$은 고정되어 있으므로

임의의 $\epsilon>0$에 대해 $C^{n-1}\frac{1}{1-C}|x_2-x_1|<\epsilon$을 만족하는 $n$이 존재하게 됩니다.

그 $n$을 $H(\epsilon)$이라 하면 모든 $m,~n>H(\epsilon)$에 대해

$|x_m-x_n|<\epsilon$을 만족하게 되어 코시 수열임을 보여주게 됩니다.

코시 수렴 기준에 따라 코시 수열은 수렴하므로

수축하는 수열은 수렴하게 됩니다.