비의 극한이 양수인 두 양의 수열의 극한

두 수열 $(x_n),~(y_n)$이 양의 수열이고

어떤 양의 실수 $L$에 대해 $\lim_{n\rightarrow}{x_n/y_n}=L$을 만족할때

$\lim_{n\rightarrow}{x_n}=+\infty$인것과 $\lim_{n\rightarrow}{y_n}=+\infty$인것은

필요충분조건입니다.

즉 $\lim_{n\rightarrow}{x_n}=+\infty$을 직접적으로 보이기 어려울때

$\lim_{n\rightarrow}{x_n/y_n}=L$을 만족하는 적당한 양의 수열 $(y_n)$을 찾아

$\lim_{n\rightarrow}{y_n}=+\infty$인것을 보여주는 방법으로

$\lim_{n\rightarrow}{x_n}=+\infty$임을 증명할 수 있습니다.

증명은 다음과 같습니다.

$\lim_{n\rightarrow}{x_n/y_n}=L$이므로

$\epsilon>0$에 대해 자연수 $N(\epsilon)$이 존재하여

모든 $n\geq N(\epsilon)$에 대해 $|x_n/y_n-L|<\epsilon$을 만족합니다.

     참고 : 수열의 극한 (limit of a sequence)과 수렴

$\epsilon=\frac{1}{2}L$로 잡으면 $n\geq N(\frac{1}{2}L)$에 대해

$|x_n/y_n-L|<\epsilon \Rightarrow L-\epsilon<x_n/y_n<L+\epsilon$

$\Rightarrow \frac{1}{2}L<x_n/y_n<\frac{3}{2}L \Rightarrow \frac{1}{2}Ly_n<x_n<\frac{3}{2}Ly_n$이므로

$x_n<\frac{3}{2}Ly_n$로부터 $\lim_{n\rightarrow}{x_n}=+\infty$이면 $\lim_{n\rightarrow}{y_n}=+\infty$이되고

$\frac{1}{2}Ly_n<x_n$로부터 $\lim_{n\rightarrow}{y_n}=+\infty$이면 $\lim_{n\rightarrow}{x_n}=+\infty$이되어

     참고 : 극한의 크기 비교

$\lim_{n\rightarrow}{x_n}=+\infty$인 것과 $\lim_{n\rightarrow}{y_n}=+\infty$인 것이 필요충분조건임을 알 수 있습니다.