코시 수열은 유계이다.

코시 수열은 유계입니다.

증명은 다음과 같습니다.

코시 수열의 정의에 따라 임의의 $\epsilon>0$에 대해

자연수 $H(\epsilon)$이 존재하여 모든 자연수 $n,~m\geq H(\epsilon)$에 대해

$|x_n-x_m|<\epsilon$을 만족합니다.

따라서 $H(\epsilon)$번째 이후의 모든 수열 값은

$(x_{H(\epsilon)}-\epsilon,x_{H(\epsilon)}+\epsilon)$의 범위에 존재합니다.

즉 $(x_n)$이 코시 수열이면 모든 자연수 $n$에 대해 다음을 만족하여 유계임을 보이게 됩니다.

$|x_n|\leq max(|x_1|,~|x_2|,~\cdots,~|x_{H(\epsilon)}|,~|x_{H(\epsilon)}+\epsilon|,~|x_{H(\epsilon)}-\epsilon|)$