볼차노 바이어슈트라스 정리 (Bolzano-Weierstrass Theorem)

볼차노 바이어슈트라스 정리는 다음과 같습니다.

유계 수열은 수렴하는 부분 수열을 가진다.

간단하지만 각종 증명에 자주 쓰이는 파워풀한 정리입니다 ^^

증명도 간단합니다.

단조 수렴 정리와 단조 부분 수열 정리를 합치면 바로 나옵니다.

     참고 : 단조 수렴 정리 (monotone convergence theorem)

             단조 부분 수열 정리 (monotone subsequence theorem)

단조 부분 수열 정리로 부터 모든 수열이 단조 부분 수열을 가진다는것을 알고있습니다.

유계 수열도 당연히 단조 부분 수열을 가지게 되는데

유계 수열의 부분 수열도 유계이므로

유계 수열의 부분 수열은 단조 유계가 됩니다.

따라서 단조 수렴 정리에 의해 수렴한다는것을 알수있습니다.