수렴하는 부분 수열이 모두 x로 수렴하는 유계 수열은 x로 수렴한다.

소개드릴 정리는 다음과 같습니다.

수렴하는 부분 수열이 모두 $x$로 수렴하는 유계 수열은 $x$로 수렴한다.

모든 부분 수열이 $x$로 수렴하는 것이 아니라

수렴하는 부분 수열이 $x$로 수렴하는 것에 유의합니다.

볼차노 바이어슈트라스 정리를 통해

유계 수열이 반드시 수렴하는 부분 수열을 가진다는 것을 알 수 있고

이 정리를 통해

수렴하는 부분 수열들이 모두 같은 값으로 수렴한다면

원래의 수열도 그 값으로 수렴한다는 것을 알 수 있습니다.

증명은 다음과 같습니다.

수열 $(x_n)$이 모든 자연수 $n$에 대해 $|x_n|<M$을 만족하여 유계이고

수렴하는 부분 수열은 모두 $x$로 수렴합니다.

이때 $(x_n)$이 $x$로 수렴하지 않는다고 가정한 다음 모순을 이끌어내어

$(x_n)$이 $x$로 수렴한다는 결론을 내도록 하겠습니다.

$(x_n)$이 $x$로 수렴하지 않는다면

$\epsilon_0>0$와 부분 수열 $(x_{n_k})$가 존재해서

모든 자연수 $k$에 대해 $|x_{n_k}-x|>\epsilon_0$을 만족합니다.

     참고 : 수열이 x로 수렴하지 않을 조건

수열 $(x_n)$이 유계이므로 부분 수열 $(x_{n_k})$도 유계이고

따라서 $(x_{n_k})$는 수렴하는 부분 수열 $(x_{n_{k_l}})$을 가집니다.

     참고 : 볼차노 바이어슈트라스 정리 (Bolzano-Weierstrass Theorem)

$(x_{n_{k_l}})$은 $(x_n)$의 수렴하는 부분 수열이므로 가정에 의해 $x$로 수렴합니다.

하지만 $(x_{n_{k_l}})$은 $(x_{n_k})$의 부분 수열이므로 $x$로 수렴하지 않습니다.

따라서 모순이 됩니다.