수열이 x로 수렴하지 않을 조건

수열 $(x_n)$이 발산한다는 것과 동치인 조건을 알아보도록 하겠습니다.

수열 $(x_n)$에 대해 다음이 동치입니다.

  1) $(x_n)$이 $x$로 수렴하지 않는다.

  2) 다음을 만족하는 $\epsilon_0$가 존재한다.

     모든 자연수 $k\in$ 에 대해 $n_k\geq k$가 있어 $|x_{n_k}-x|\geq \epsilon_0$

  3) 다음을 만족하는 $\epsilon_0$과 부분 수열 $(x_{n_k})$가 존재한다.

     모든 자연수 $k$에 대해 $|x_{n_k}-x|\geq\epsilon_0$

증명 : 

1) => 2)  : 사실 2)는 수열 $(x_n)$이 $x$로 수렴한다 즉

임의의 $\epsilon>0$에 대해 자연수 $N(\epsilon)$이 있어

모든 $n>N(\epsilon)$에 대해 $|x_n-x|<\epsilon$을 만족한다.

의 부정입니다.

2) => 3)  : 2)에서 모든 자연수 $k$에 대해

$|x_{n_k}-x|\geq \epsilon_0$을 만족하는 $n_k\geq k$가 있다고 하였으므로

$n_k+1$보다 큰 자연수 중에서도 (예를들어 그 수를 m이라고 하면)

$|x_m-x|\geq \epsilon_0$을 만족하는 수를 찾을 수 있습니다.

따라서 처음 $k=1$에 대한 $n_1$을 찾고

찾아진 $n_1+1$에 대한 $n_{n_1+1}$을 찾는 방식으로

3)의 조건을 만족하는 부분 수열 $(x_{n_k})$를 찾을 수 있습니다.

3) => 1)  : 1)이 아니라고 즉 $(x_n)$이 $x$로 수렴한다고 가정하면

3)에 모순이 되므로 1)이 성립하게 됩니다.