한수학

조건부 확률 $P(A|B)$는 사건 $B$가 일어난 상태에서 사건 $A$가 일어날 확률입니다. 표본 공간과 사건 포스팅에서 나왔던 문제를 다시 봅시다. 주사위 $2$개를 던졌는데 누군가 힐끗보고 $6$이 없다고 한 상태에서 두 주사위의 차이가 $2$일 확률은? 해당 포스팅에서는 그냥 풀었는데 오늘은 조건부 확률을 이용해서 풀려고 합니다. "주사위 $2$개를 던졌을때 두 주사위의 차이가 $2$인 사건"을 $A$라고 두고 "주사위중에 $6$이 없는 사건"을 $B$라고 두면 위의 문제는 $P( A | B )$로 나타낼 수 있습니다. 주사위를 $2$개 던졌을때 두 주사위의 차이가 $2$일 확률이 아니라 주사위를 $2$개던졌는데 그중 $6$이 없는 상태에서 두 주사위의 차이가 $2$일 확률을 구하는 것이므로 즉 ..

표본 공간은 어떤 실험이나 시도의 결과로 나올 수 있는 모든 가능한 결과의 집합이고 표본 공간의 모든 부분 집합은 사건이라고 합니다. 예를들어 동전을 던졌을때 앞면이 나올 확률을 구할때 $\{앞면,~뒷면\}$이 표본 공간이 되고 $\{앞면\}$이 관심있는 사건이 됩니다. $\{뒷면\}$, $\{앞면, 뒷면\}$도 표본공간의 부분집합이므로 사건이지만 위 문제에서 관심있는 사건은 아닙니다. 사실 이런 개념을 몰라도 직관적으로 확률 값들을 구할 수 있는 경우가 많지만 직관적으로는 어려운 문제를 해결해야 하는 경우 각 용어들을 명확히 정의하고 적용하는것, 즉 해당 문제에서 표본공간이 무엇이고 고려해야하는 사건이 무엇인지를 명확하게 하는것, 이 필요하게 됩니다. 예를들어 동전을 던졌을때 앞면이 나올 확률은? 이란..

' 두 사람이 내기를 하는데, 먼저 $3$승한 사람이 이기기로 하고 시작하다가 한쪽이 $2$승 $1$패 했을 때 중간에 내기를 그만하게 되었다. 이 때, 돈을 어떻게 나누어 가져야 하겠는가? ' 확률이라는 학문을 만든 첫 질문으로 알려진 문제입니다. 이 문제를 가지고 파스칼 (위 그림)과 페르마란 사람이 편지를 주고받으면서 확률의 체계를 세워나가기 시작했다고 합니다. 어떻게 하면 될까요? $2$승 $1$패인 사람을 승훈이라고 하고 $1$승 $2$패인 사람을 지민이라고 합시다. 승훈이는 $1$승만하면 이기는 것이고 지민이는 $2$승을 해야 이기게 됩니다. 승훈이가 이길확률과 지민이가 이길 확률을 비교해보도록 합시다 승훈이와 지민이의 실력이 똑같다고 보면 경기를 계속했을때 승훈이가 $1$승을 더 올릴 확률과..

두 집합 A, B이 같은 경우 A = B라고 씁니다. 이 경우 A가 포함하는 원소와 B가 포함하는 원소가 정확하게 같습니다. 예를들어 A = { 1, 2, 3 } 이고 A = B 이면 B = {1, 2, 3} 입니다. 두 집합이 같다는건 어떻게 증명할까요? 보통 A ⊂ B 이고 A ⊂ B이다.

로또 당첨 확률이 정확히 얼마인지 그리고 로또는 살만한지에 대해 알아보겠습니다. 우선 로또의 당첨원리는 다음과 같습니다. $1$에서 $45$까지의 숫자중 $6$개를 뽑는데 이 $6$개의 숫자를 모두 맞추면 $1$등이됩니다. $5$개가 맞고 나머지 하나가 보너스 번호와 같으면 $2$등이고 $5$개가 맞고 보너스 번호가 같이 않으면 $3$등입니다. $4$개가 맞으면 $4$등, $3$개가 맞으면 $5$등입니다. 조합을 이용해서 로또 한장을 샀을때 $1$등이 될 확률을 간단하게 풀어보겠습니다. 로또 $1$등에 당첨 될 확률은 $1 / 45$개의 숫자 중 $6$개를 뽑았을때 나올 수 있는 모든 경우의 수가 되므로 간단하게 아래와 같습니다. $$1/ _{45}C _{6}$$ 여기서 $$1/ _{45}C _{6}=\..

조합은 확률 값을 구하기 위해 경우의 수를 계산할 때 자주 사용하는 개념입니다. 예를들어 $5$장의 종이 중 $1$장의 당첨 종이가 있는 제비뽑기를 할때 $3$장을 뽑을 수 있다면 당첨 종이를 뽑을 확률은 얼마일까요? 이 문제를 풀기위해선 $5$장의 종이중에서 $3$장을 뽑는 총 경우의 수를 알아야 하는데 이것을 기호로 $_{5}C_{3}$이라고 적습니다. 여기서 $C$는 조합을 나타내는 Combination의 C를 따온것입니다. 답은 아래와 같은데 $$\frac{5\mbox{장의 종이 중에서 }3\mbox{장을 뽑는 모든 경우 중 당첨이 포함된 경우의 수}}{5\mbox{장의 종이 중에서 }3\mbox{장을 뽑는 모든 경우의 수}} $$ $5$장의 종이 중에서 $3$장을 뽑는 모든 경우 중 당첨이 포함..

표시함수 (indicator function)는 어떤 원소가 어떤 집합에 포함되는지 아닌지를표시 (indicate)해주는 함수입니다. 위키피디아에서는 표시함수를 특성함수 (characteristic function)로 표현하기도 한다고 되어있는데 확률에서는 특성함수라는 표현을 다른 용도로 쓰기때문에 혼동을 피하기 위해 표시함수라고 하는것이 좋을것 같습니다. 표시함수 1A(x)는 원소 x가 집합 A에 포함되는지를 표시해주는것인데 x가 A에 포함되면 1, 포함되지 않으면 0이 됩니다. A에 포함되는 원소 뿐만아니라 포함되지 않는 원소에서도 정의되어야 하기 때문에 표시함수는 A를 포함하는 전체집합 U에서 정의가 되며 값은 0 또는 1을 가집니다. 표시함수 (Indicator function) 전체집합 U의 부..

대칭차집합은 위의 위의 벤다이어 그램으로 설명할 수 있습니다. 두 집합 A, B로 부터 A-B, B-A라는 대칭적으로 생긴 두개의 차집합을 생각할 수 있겠죠? 이 두 차집합의 합집합이 대칭차집합입니다. 해석을 하자면 두 집합 A, B 둘중 하나에 포함되지만 두 집합 모두에 포함되지는 않는 원소들의 모임이 됩니다. 둘 중 하나에 포함된다는 것은 A ∪ B이고 두 집합 모두에 포함되는 것은 A ∩ B이므로 두 집합 A, B 둘중 하나에 포함되지만 두 집합 모두에 포함되지는 않는것은 ( A ∪ B ) - ( A ∩ B )

차 집합... 농담입니다 ^^ 차집합 (relative complement)은 집합끼리 뺀다는 뜻입니다. 숫자를 빼듯 - 기호를 이용해서 A - B라고 쓰고 A에 대한 B의 차집합이라고 읽습니다. 편하게 A 차집합 B라고 읽으셔도 됩니다. 직관적인 이해를 위해 벤 다이어 그램을 통해 살펴봅시다. 여기 두 집합 A, B가 있습니다. A-B는 A에서 B를 빼는 것인데 B에는 A에 속하지 않는 부분도 있죠? 이 부분은 그냥 무시하시고 A에도 속하고 B에도 속하는 부분 (A ∩ B)을 A에서 빼면 됩니다. 즉 A - B = A - ( A ∩ B )가 됩니다. 그려놓고 보니 A - B가 어디서 많이 본것 같습니다. 집합의 연산 : 합집합, 교집합, 여집합 포스팅에 같은 그림이 있었죠? 왜 같을까요? A - B는 ..

출처 : 위키피디아 집합에서 드 모르간의 정리는 집합의 연산에서 자주 쓰이는 정리입니다. 드 모르간의 정리 (De Morgan's theorem) 임의의 두 집합 A, B에 대해서 , 처음 드 모르간의 정리를 외울때 c로 표현되는 여집합 기호가 괄호 안으로 들어가면서 괄호안의 집합에 여집합 기호 c를 붙이고 합집합은 교집합으로 ( ∪ => ∩ ), 교집합은 합집합으로 ( ∩ => ∪ ) 바꾼다고 외운 기억이 납니다. ^^ 첫번째 식부터 보도록 하겠습니다. 등호 왼쪽의 는 ( A ∪ B )의 여집합 즉 ( A ∪ B )에 들어가지 않는 원소들의 집합이므로 벤 다이어그램으로 다음과 같이 나타나게 됩니다. A에도 포함되지 않고 B에도 포함되지 않아야 하죠? 즉 A의 여집합과 B의 여집합의 교집합이 되는 것이죠..