두 집합이 같다.

 

 

 

 

 

두 집합 A, B이 같은 경우

 

A = B라고 씁니다.

 

이 경우 A가 포함하는 원소와 B가 포함하는 원소가 정확하게 같습니다.

 

예를들어 A = { 1, 2, 3 } 이고 A = B 이면

 

B = {1, 2, 3} 입니다.

 

 

 

 

 

두 집합이 같다는건 어떻게 증명할까요?

 

 

보통

 

A ⊂ B 이고 A ⊂ B이다.  <= 이것을 이용해서 증명합니다..

 

 

집합 A의 모든 원소가 B에 포함되고

 

집합 B의 모든 원소가 A에 포함되는 경우는 두 집합이 같은 경우외엔 없겠죠?

 

 

 

예를 들어보겠습니다.    

 

전체집합 U의 두 부분집합 A, B이 있을때

 

교집합과 표시함수를 이용해 또 다른 부분집합 C, D를

 

C = A ∩ B, D = { x | 1A(x)×1B(x) = 1 }로 정의해봅시다

 

 

여기서 C = D인것을 어떻게 증명할까요?

 

 

 

보통 다음과 같은 형식으로 증명합니다.

 

1) C ⊂ D

 

부분집합 C의 임의의 원소 c는 A에도 포함되고 B에도 포함되므로

 

1A(c) = 1 이고 1B(c) = 1 이다. 따라서 1A(c)×1B(c) = 1 이므로 c는 D에 포함된다.

 

C의 모든 원소가 D에 포함되는 것이므로 C ⊂ D 이 성립하게된다.

 

 

2) D ⊂ C

 

부분집합 D의 임의의 원소 d는 1A(d)×1B(d) = 1 를 만족하므로

 

1A(d) = 1 이고 1B(d) = 1 이다.

 

표시함수의 정의에 따라 d는 A에도 포함되고 B에도 포함되므로

 

A ∩ B 즉 C에 포함됩니다.

 

따라서 D ⊂ C가 성립합니다.

 

1) 2)로부터 C = D가 성립하게 됩니다.