한수학

수열 $(x_n)$이 다음 중 하나의 조건을 만족할때 발산합니다. 1) 극한 값이 다른 두 부분 수열 $(x_{n_k}),~(x_{r_k})$이 존재할 경우 2) 수열 $(x_n)$이 비유계이다. 증명 : 수열 $(x_n)$이 $x$로 수렴할때 수열 $(x_n)$의 모든 부분 수열도 $x$로 수렴하므로 참고 : 수렴하는 수열의 부분 수열은 모두 수렴한다. 1)의 조건을 만족하면 발산하게 됩니다. 또한 수렴하는 수열은 유계이므로 참고 : 수렴하는 수열은 유계이다. 2)의 조건을 만족하면 발산하게 됩니다.

수열 $(x_n)$이 발산한다는 것과 동치인 조건을 알아보도록 하겠습니다. 수열 $(x_n)$에 대해 다음이 동치입니다. 1) $(x_n)$이 $x$로 수렴하지 않는다. 2) 다음을 만족하는 $\epsilon_0$가 존재한다. 모든 자연수 $k\in$ 에 대해 $n_k\geq k$가 있어 $|x_{n_k}-x|\geq \epsilon_0$ 3) 다음을 만족하는 $\epsilon_0$과 부분 수열 $(x_{n_k})$가 존재한다. 모든 자연수 $k$에 대해 $|x_{n_k}-x|\geq\epsilon_0$ 증명 : 1) => 2) : 사실 2)는 수열 $(x_n)$이 $x$로 수렴한다 즉 임의의 $\epsilon>0$에 대해 자연수 $N(\epsilon)$이 있어 모든 $n>N(\epsilon)$에 대해 ..

수열 $(x_n)$이 수렴할때 이 수열의 부분 수열 $(x_{n_k})$이 수렴하는지 알아보겠습니다. 아래 그림과 같이 수열 $(x_n)$이 수렴하는 경우 수열 $(x_n)$의 일부인 부분 수열 $(x_{n_k})$도 수렴한다고 추측할 수 있는데 증명은 다음과 같습니다. 수열 $(x_n)$은 수렴하므로 임의의 $\epsilon>0$에 대해 자연수 $N(\epsilon)$이 존재하여 모든 $n\geq N(\epsilon)$에 대해 $|x_n-x|N(\epsilon)$이 되는 값이 있는데 그 값 중 하나를 $N'(\epsilon)$이라고 하면 모든 $n_k\geq N'(\epsilon)$에 대해 $|x_{n_k}-x|

$(x_n)$이 수열이고 $(n_k)$가 강한 증가 수열이고 자연수 수열이면 (즉 $n_1

단조 수렴 정리는 다음과 같습니다. 단조 수열은 수렴함과 유계임이 필요충분조건이다. 즉 수열 $(x_n)$이 단조 수열이고 수렴하면 유계이고 수열 $(x_n)$이 단조 수열이고 유계이면 수렴한다는 것입니다. 수열이 수렴할때 유계인것은 수렴하는 수열은 유계이다 포스팅에서 보였으므로 단조 수열이 유계인 경우 수렴하는가만 보이면 됩니다. 수열 $(x_n)$이 아래 그림과 같이 비감소 수열이고 유계일때 수렴하는지를 보이겠습니다. $M$이 수열 $(x_n)$의 최소상계라고 하면 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $(M-\epsilon,M]$에 포함되는 수열값이 있습니다. 그 수열값중 하나가 $x_N$이라고 할때 수열 $(x_n)$은 비감소 수열이므로 모든 자연수 $n\geq N$에 대해 $x_n\in (M-\..

단조 증가 수열 (monotone increasing sequence) 혹은 비감소 수열 (nondecreasing sequence)은 위의 그림과 같이 모든 자연수 $n$에 대해 $x_n \leq x_{n+1}$을 만족하는 수열을 뜻하고 단조 감소 수열 (monotone decreasing sequence) 혹은 비증가 수열 (nonincreasing sequence)은 위의 그림과 같이 모든 자연수 $n$에 대해 $x_n \geq x_{n+1}$을 만족하는 수열을 뜻합니다. 단조 증가 수열과 단조 감소 수열을 단조 수열 (monotone sequence)이라고 합니다. 아래와 같이 모든 자연수 $n$에 대해 $x_n x_{n+1}$을 만족하는 수열은$$x_1 > x_2 > \cdots > x_n > ..

해석학에서 자주 쓰이는 샌드위치 정리에 대해 알아보도록 하겠습니다. 세 수열 $(x_n)$, $(y_n)$, $(z_n)$이 모든 자연수 $n$에 대해 $x_n \leq y_n \leq z_n$을 만족할 때 두 수열 $(x_n)$, $(z_n)$이 수렴하고 극한값이 같으면 $(y_n)$도 수렴하고 그 극한값이 $(x_n)$, $(z_n)$의 극한값과 같다는 것입니다. 극한의 크기 비교 포스팅을 통해 두 수열 $(x_n)$, $(y_n)$이 수렴하고 극한값이 각각 $x$, $y$일 때 모든 자연수 $n$에 대해 $x_n \leq y_n$이면 $x \leq y$인 것을 알고 있습니다. 따라서 수열 $(y_n)$이 수렴한다는 것만 보이면 $(z_n)$의 극한값이 $z$일 때 $x \leq y \leq z$이 ..

수렴하는 두 수열 $(x_n)$, $(y_n)$이 모든 자연수 $n$에 대해 $x_n \leq y_n$일 때 $\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n} \leq \lim_{n \rightarrow \infty}{y_n}$임을 이용하여 관련글 : 극한의 크기 비교 다음을 유도할 수 있습니다. 수렴하는 수열 $(x_n)$이 모든 자연수 $n$에 대해 $a \leq x_n \leq b$일 때 $a \leq \lim_{n \rightarrow \infty}{x_n} \leq b$이다. 증명은 너무나도 단순합니다 ^^ 상수 $a$, $b$를 상수 수열로 생각할 수 있습니다. 예를들어 모든 $n$에 대해 $y_n=b$인 것이죠 그러면 모든 자연수 $n$에 대해 $x_n \leq y_n$ 이므로 $..

수렴하는 두 수열 $(x_n)$, $(y_n)$이 모든 $n$에 대해 $x_n \leq y_n$일때 $\lim_{n\rightarrow\infty}{x_n}\leq\lim_{n\rightarrow\infty}{y_n}$가 되는지 알아보도록 하겠습니다. 수열에서의 대소관계가 극한에서도 유지되느냐인데 결론부터 말씀드리면 유지가 됩니다. 증명을 해보도록 하겠습니다. 여러가지 방식으로 할 수 있는데 귀류법을 써서 해보겠습니다. $\lim_{n\rightarrow\infty}{x_n}=x$, $\lim_{n\rightarrow\infty}{y_n}=y$라고 하고 $y

두 수열 $(x_n),~(y_n)$이 수렴하고 각각 극한값 $x,~y$를 가질때 두 수열의 비로 나타내어지는 수열 $(x_n/y_n)$도 수렴하는지 수렴한다면 극한값은 무엇인지를 알아보도록 하겠습니다. 사실 수렴하는 수열의 곱은 수렴하기 때문에 $(1/y_n)$이 수렴하고 극한값을 $1/y$로 가진다면 $(x_n/y_n)$은 수렴하고 극한값 $x/y$를 가지게 됩니다. $(1/y_n)$이 수렴하고 극한값을 $1/y$로 가짐을 증명해보도록 하겠습니다. 임의의 $\epsilon>0$에 대해 자연수 $N$이 존재하여 $N$ 이상의 모든 $n$에 대해 $|1/y_n-1/y|