샌드위치 정리 (squeeze theorem)

해석학에서 자주 쓰이는 샌드위치 정리에 대해 알아보도록 하겠습니다.

세 수열 $(x_n)$, $(y_n)$, $(z_n)$이 모든 자연수 $n$에 대해 $x_n \leq y_n \leq z_n$을 만족할 때

두 수열 $(x_n)$, $(z_n)$이 수렴하고 극한값이 같으면

$(y_n)$도 수렴하고 그 극한값이 $(x_n)$, $(z_n)$의 극한값과 같다는 것입니다.

극한의 크기 비교 포스팅을 통해

두 수열 $(x_n)$, $(y_n)$이 수렴하고 극한값이 각각 $x$, $y$일 때 

모든 자연수 $n$에 대해 $x_n \leq y_n$이면

$x \leq y$인 것을 알고 있습니다.

따라서 수열 $(y_n)$이 수렴한다는 것만 보이면

$(z_n)$의 극한값이 $z$일 때

$x \leq y \leq z$이 되므로

$x = z$인 조건으로부터

$x  = y  = z$임을 알 수 있습니다.

$(y_n)$의 수렴성도 쉽게 보일 수 있습니다.

$(x_n)$과 $(z_n)$이 수렴하고 극한값이 같으므로

임의의 $\epsilon>0$에 대해

자연수 $N_x(\epsilon)$이 존재해서

모든 자연수 $n \geq N_x(\epsilon)$에 대해 $|x_n-x|<\epsilon$을 만족하여

$-\epsilon<x_n-x$가 되고

자연수 $N_z(\epsilon)$이 존재해서

모든 자연수 $n \geq N_z(\epsilon)$에 대해 $|z_n-z|<\epsilon$을 만족하여

$z_n-z<\epsilon$이 됩니다.

$N(\epsilon)=\max(N_x(\epsilon),N_z(\epsilon))$으로 두면

조건 "모든 자연수 $n$에 대해 $x_n \leq y_n \leq z_n$"을 통해

모든 자연수 $n \geq N(\epsilon)$에 대해 아래 그림과 같이

$-\epsilon<x_n-x\leq y_n-x \leq z_n -x <\epsilon$이 되므로

$|y_n-x|<\epsilon$이 되어 $x$가 수열 $(y_n)$의 극한값이 됩니다.