유계 수열의 극한

수렴하는 두 수열 $(x_n)$, $(y_n)$이 모든 자연수 $n$에 대해 $x_n \leq y_n$일 때 

$\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n} \leq \lim_{n \rightarrow \infty}{y_n}$임을 이용하여

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다음을 유도할 수 있습니다.

수렴하는 수열 $(x_n)$이 모든 자연수 $n$에 대해 $a \leq x_n \leq b$일 때

$a \leq \lim_{n \rightarrow \infty}{x_n} \leq b$이다.

증명은 너무나도 단순합니다 ^^

상수 $a$, $b$를 상수 수열로 생각할 수 있습니다.

예를들어 모든 $n$에 대해 $y_n=b$인 것이죠

그러면 모든 자연수 $n$에 대해 $x_n \leq y_n$ 이므로

$\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n} \leq \lim_{n \rightarrow \infty}{y_n}=b$가 됩니다.

$a \leq \lim_{n \rightarrow \infty}{x_n}$임도 같은 방법으로 보일 수 있습니다.