수렴하는 수열의 곱의 수렴성

$(x_n),~(y_n)$이 각각 극한값 $x,~y$를 가지는 수열이고

$c$가 상수일때

$(x_ny_n)$과 $(cx_n)$이 수렴하는지 알아보겠습니다.

수렴하는 수열은 유계이므로

수열 $(x_n)$, $(y_n)$에 다음을 만족하는 양수 $M_x,~M_y$가 각각 존재합니다.

$$\mbox{모든 자연수 $n$에 대해, } |x_n|\le M_x,~\mbox{이고}~ |y_n|\le M_y$$

자연수 $M$을 두 양수 $M_x,~M_y$ 중 큰 수로 두면

수열 $(x_n)$, $(y_n)$은 $M$으로 유계됩니다. 즉

$$\mbox{모든 자연수 $n$에 대해, } |x_n|\le M~\mbox{이고}~ |y_n|\le M$$

임의의 $\epsilon>0$에 대해 자연수 $N(\epsilon)$이 있어 $N(\epsilon)$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대해

$|x_ny_n-xy|<\epsilon$임을 증명하려고 합니다.

수열 $(x_n),~(y_n)$은 수렴하므로

자연수 $N_x(\frac{\epsilon}{2M})$이 존재하여 $N( \frac{\epsilon}{2M})$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대해

$|x_n-x|< \frac{\epsilon}{2M} $를 만족하고

자연수 $N_y( \frac{\epsilon}{2M} )$이 존재하여 $N( \frac{\epsilon}{2M} )$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대해

$|y_n-y|< \frac{\epsilon}{2M} $를 만족합니다.

자연수 $N$을 두 자연수 $N_x(\epsilon/M)$, $N_y(\epsilon/M)$ 중 큰 수로 두면

$N$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대해 다음이 만족합니다.

$|x_ny_n-xy|=|x_ny_y-x_ny+x_ny-xy|\le |x_ny_n-x_ny|+|x_ny-xy|$

$~~~=|x_n||y_n-y|+|x_n-x||y|<M \frac{\epsilon}{2M} + \frac{\epsilon}{2M}M= \frac{1}{2}\epsilon +\frac{1}{2}\epsilon=\epsilon$

따라서 수열 $(x_ny_n)$은 수렴합니다.

수열 $(cx_n)$의 수렴성도 쉽게 증명할 수 있습니다.

(위 경우만 따로 증명할수도 있고

 $(x_ny_n)$의 수렴성을 이용해 수열 $(y_n)$을 상수 수열 $(c, c, \cdots)$로 두고 증명해도 됩니다.)