수렴하는 수열의 부분 수열은 모두 수렴한다.

수열 $(x_n)$이 수렴할때

이 수열의 부분 수열 $(x_{n_k})$이 수렴하는지 알아보겠습니다.

아래 그림과 같이 수열 $(x_n)$이 수렴하는 경우

수열 $(x_n)$의 일부인 부분 수열 $(x_{n_k})$도 수렴한다고 추측할 수 있는데

증명은 다음과 같습니다.

수열 $(x_n)$은 수렴하므로 임의의 $\epsilon>0$에 대해

자연수 $N(\epsilon)$이 존재하여 모든 $n\geq N(\epsilon)$에 대해 

$|x_n-x|<\epsilon$을 만족합니다.

$(n_k)$는 강한 증가 수열이므로

반드시 $n_k>N(\epsilon)$이 되는 값이 있는데

그 값 중 하나를 $N'(\epsilon)$이라고 하면

모든 $n_k\geq N'(\epsilon)$에 대해

$|x_{n_k}-x|<\epsilon$을 만족하게되므로

부분 수열 $(x_{n_k})$는 수렴하게 됩니다.