한수학

포스팅을 통해서 다음을 이해해 보려고 합니다. A1, A2, ..., An가 전체 집합 (U)의 파티션이고 집합 B가 U의 부분 집합일때 A1∩B, A2∩B, ..., An∩B가 B의 파티션을 이룬다. A1, A2, ..., An이 U의 파티션이면 다음과 같은 그림이 그려지게 됩니다. 여기에 U의 부분집합 B를 넣어보겠습니다. 여기서 잘 보면 U 뿐만 아니라 B도 A1, A2, ..., An을 이용해서 나눌수 있다는것을 알 수 있습니다. 하지만 A1, A2, ..., An은 B의 부분집합이 아니므로 (즉 A₁∪ A₂∪ ... ∪ An ≠ B 이므로 파티션 정의에서 2번째 조건을 만족시키지 못합니다.) A1, A2, ..., An가 B의 파티션인것은 아니고 A1 ∩ B, A2 ∩ B, ..., An ∩ B..

파티 하는 션 부부....... 죄송합니다 ㅇ(..)ㅇ 파티션은 전체를 서로 겹치지 않게 나누는것을 의미합니다. 우선 파티션이라는 용어를 볼까요? 파티션을 검색해보면 다음 두가지가 많이 나옵니다. 가구 파티션 하드 디스크 파티션 이 두가지의 공통점은 무엇일까요? 우선 나눈다는 것이죠? 사무공간을 나누고, 하드 디스크를 나눕니다. 또 한가지는 무엇일까요? 나누어진 공간이 겹쳐지지 않습니다. 그리고 나누어진 부분을 모두 합하면 전체가 됩니다. 위의 그림에서 보면 가구 파티션으로 사무 공간을 6개 공간으로 나누었습니다. 이 6개의 사무공간 각각의 넓이를 더하면 전체 사무공간의 넓이가 됩니다. 하드 디스크의 경우도 마찬가지로 C, D, E 드라이브 각각의 용량을 합치면 원래 하드디스크의 전체 용량이 되게 됩니다..

두 집합 A, B이 같은 경우 A = B라고 씁니다. 이 경우 A가 포함하는 원소와 B가 포함하는 원소가 정확하게 같습니다. 예를들어 A = { 1, 2, 3 } 이고 A = B 이면 B = {1, 2, 3} 입니다. 두 집합이 같다는건 어떻게 증명할까요? 보통 A ⊂ B 이고 A ⊂ B이다.

표시함수 (indicator function)는 어떤 원소가 어떤 집합에 포함되는지 아닌지를표시 (indicate)해주는 함수입니다. 위키피디아에서는 표시함수를 특성함수 (characteristic function)로 표현하기도 한다고 되어있는데 확률에서는 특성함수라는 표현을 다른 용도로 쓰기때문에 혼동을 피하기 위해 표시함수라고 하는것이 좋을것 같습니다. 표시함수 1A(x)는 원소 x가 집합 A에 포함되는지를 표시해주는것인데 x가 A에 포함되면 1, 포함되지 않으면 0이 됩니다. A에 포함되는 원소 뿐만아니라 포함되지 않는 원소에서도 정의되어야 하기 때문에 표시함수는 A를 포함하는 전체집합 U에서 정의가 되며 값은 0 또는 1을 가집니다. 표시함수 (Indicator function) 전체집합 U의 부..

대칭차집합은 위의 위의 벤다이어 그램으로 설명할 수 있습니다. 두 집합 A, B로 부터 A-B, B-A라는 대칭적으로 생긴 두개의 차집합을 생각할 수 있겠죠? 이 두 차집합의 합집합이 대칭차집합입니다. 해석을 하자면 두 집합 A, B 둘중 하나에 포함되지만 두 집합 모두에 포함되지는 않는 원소들의 모임이 됩니다. 둘 중 하나에 포함된다는 것은 A ∪ B이고 두 집합 모두에 포함되는 것은 A ∩ B이므로 두 집합 A, B 둘중 하나에 포함되지만 두 집합 모두에 포함되지는 않는것은 ( A ∪ B ) - ( A ∩ B )

차 집합... 농담입니다 ^^ 차집합 (relative complement)은 집합끼리 뺀다는 뜻입니다. 숫자를 빼듯 - 기호를 이용해서 A - B라고 쓰고 A에 대한 B의 차집합이라고 읽습니다. 편하게 A 차집합 B라고 읽으셔도 됩니다. 직관적인 이해를 위해 벤 다이어 그램을 통해 살펴봅시다. 여기 두 집합 A, B가 있습니다. A-B는 A에서 B를 빼는 것인데 B에는 A에 속하지 않는 부분도 있죠? 이 부분은 그냥 무시하시고 A에도 속하고 B에도 속하는 부분 (A ∩ B)을 A에서 빼면 됩니다. 즉 A - B = A - ( A ∩ B )가 됩니다. 그려놓고 보니 A - B가 어디서 많이 본것 같습니다. 집합의 연산 : 합집합, 교집합, 여집합 포스팅에 같은 그림이 있었죠? 왜 같을까요? A - B는 ..

출처 : 위키피디아 집합에서 드 모르간의 정리는 집합의 연산에서 자주 쓰이는 정리입니다. 드 모르간의 정리 (De Morgan's theorem) 임의의 두 집합 A, B에 대해서 , 처음 드 모르간의 정리를 외울때 c로 표현되는 여집합 기호가 괄호 안으로 들어가면서 괄호안의 집합에 여집합 기호 c를 붙이고 합집합은 교집합으로 ( ∪ => ∩ ), 교집합은 합집합으로 ( ∩ => ∪ ) 바꾼다고 외운 기억이 납니다. ^^ 첫번째 식부터 보도록 하겠습니다. 등호 왼쪽의 는 ( A ∪ B )의 여집합 즉 ( A ∪ B )에 들어가지 않는 원소들의 집합이므로 벤 다이어그램으로 다음과 같이 나타나게 됩니다. A에도 포함되지 않고 B에도 포함되지 않아야 하죠? 즉 A의 여집합과 B의 여집합의 교집합이 되는 것이죠..

우선 멱등법칙은 정리만 하겠습니다 . 집합의 멱등법칙 ( The idempotency laws ) 임의의 집합 A에 대해서 A ∪ A = A, A ∩ A = A 교환법칙은 두 집합을 합집합 혹은 교집합 하였을때 집합의 순서에 영향을 받지 않는다는 것입니다. 예를들어 교집합의 경우 두 집합 A, B에 대해서 A에 포함되고 B에도 포함되는 원소와 B에 포함되고 A에도 포함되는 원소는 같죠? 따라서 A ∩ B = B ∩ A가 성립합니다. 합집합도 마찬가지입니다. 집합의 교환법칙 ( The commutative laws ) 임의의 집합 A, B에 대해서 A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A 결합법칙은 3개 이상의 집합을 합집합 혹은 교집합 할때 어떤 2개의 집합을 먼저 합집합 하거나 교집합 해도 ..

항등원 많이 들어보셨죠? 임의의 수에 0을 더하면 처음 수와 같습니다. 마찬가지로 임의의 수에 1을 곱하면 처음수와 같죠? 이때 0은 ＋에 대해서 항등원이고 1은 ×에 대해서 항등원이라고 합니다. 이처럼 임의의 원소와 연산을 했을때 결과값이 처음값과 같게 만들어 주는 원소를 그 연산에 대한 항등원이라고 합니다. 항등원 집합에서 모든 원소와 연산을 한 결과가 항상 처음 원소값이 되게하는 원소 참고 : 위키백과 집합에서 합집합과 교집합에 대한 항등원은 무엇일까요? 임의의 집합과 합집합을 했을때 처음 집합과 같게 만드는 집합을 찾으면 됩니다. 합집합을 하면 반드시 원소가 추가되므로 합집합 결과가 처음 집합 (아래 그림에서 A)과 같기 위해서는 합집합 하려는 집합이 처음 집합에 포함되어야 합니다. 모든 집합에 ..

두 집합 A, B가 서로소 (disjoint)라는 것은 A ∩ B = Ø