단조 수렴 정리 (monotone convergence theorem)

단조 수렴 정리는 다음과 같습니다.

단조 수열은 수렴함과 유계임이 필요충분조건이다.

즉 수열 $(x_n)$이 단조 수열이고 수렴하면 유계이고

수열 $(x_n)$이 단조 수열이고 유계이면 수렴한다는 것입니다.

수열이 수렴할때 유계인것은 수렴하는 수열은 유계이다 포스팅에서 보였으므로

단조 수열이 유계인 경우 수렴하는가만 보이면 됩니다.

수열 $(x_n)$이 아래 그림과 같이 비감소 수열이고 유계일때 수렴하는지를 보이겠습니다.

$M$이 수열 $(x_n)$의 최소상계라고 하면

임의의 $\epsilon>0$에 대해 $(M-\epsilon,M]$에 포함되는 수열값이 있습니다.

그 수열값중 하나가 $x_N$이라고 할때

수열 $(x_n)$은 비감소 수열이므로

모든 자연수 $n\geq N$에 대해 $x_n\in (M-\epsilon,M]$이 됩니다.

즉 $M$이 수열 $(x_n)$의 극한값이 됩니다.

비증가 수열이 유계인경우 수렴하는것도 비슷하게 보일수 있습니다.