집합의 항등원

 

 

 

 

항등원 많이 들어보셨죠?

 

 

임의의 수에 0을 더하면 처음 수와 같습니다.

 

마찬가지로 임의의 수에 1을 곱하면 처음수와 같죠?

 

 

이때 0은 ＋에 대해서 항등원이고 1은 ×에 대해서 항등원이라고 합니다.

 

 

이처럼 임의의 원소와 연산을 했을때

 

결과값이 처음값과 같게 만들어 주는 원소를 그 연산에 대한 항등원이라고 합니다.

 

 

 

항등원   집합에서 모든 원소와 연산을 한 결과가 항상 처음 원소값이 되게하는 원소

                                                                                                                  참고 : 위키백과 

 

 

 

 

 

집합에서 합집합과 교집합에 대한 항등원은 무엇일까요?

 

 

임의의 집합과 합집합을 했을때 처음 집합과 같게 만드는 집합을 찾으면 됩니다.

 

합집합을 하면 반드시 원소가 추가되므로

 

합집합 결과가 처음 집합 (아래 그림에서 A)과 같기 위해서는

 

합집합 하려는 집합이 처음 집합에 포함되어야 합니다.

 

 

 

 

 

 

 

모든 집합에 대해서 이 성질이 성립하려면 모든 집합에 포함되어야겠죠?

 

공집합은 모든집합의 부분집합이므로

 

따라서 공집합이 합집합의 항등원이 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

교집합에 대한 항등원은 무었을까요?

 

 

교집합은 두 집합 모두에 포함되는 원소들의 집합이므로

 

처음 집합 (아래 그림에서 A)을 포함하는 집합만이

 

처음 집합과 교집합 한 결과가 처음 집합이 될 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

모든 집합에 대해서 이 성질이 성립하려면 모든 집합을 포함하여야합니다.

 

따라서 전체집합이 교집합의 항등원이 됩니다.

 

 

 

 

 

정리하자면 집합의 항등법칙은 다음과 같습니다.

 

 

집합의 항등원   임의의 집합 A와 전체집합 U에 대해서 다음이 성립한다.   A ∪ Φ = A,   A ∩ U = A