집합의 연산법칙 : 멱등, 교환, 결합, 분배법칙

 

 

 

 

 

 

 

우선 멱등법칙은 정리만 하겠습니다

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집합의 멱등법칙 ( The idempotency laws )   임의의 집합 A에 대해서   A ∪ A = A, A ∩ A = A

 

 

 

 

 

교환법칙은 두 집합을 합집합 혹은 교집합 하였을때 집합의 순서에 영향을 받지 않는다는 것입니다.

 

예를들어 교집합의 경우 두 집합 A, B에 대해서

 

A에 포함되고 B에도 포함되는 원소와

 

B에 포함되고 A에도 포함되는 원소는 같죠?

 

따라서 A ∩ B = B ∩ A가 성립합니다.

 

 

합집합도 마찬가지입니다.

 

 

집합의 교환법칙 ( The commutative laws )   임의의 집합 A, B에 대해서   A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A

 

 

 

 

 

결합법칙은 3개 이상의 집합을 합집합 혹은 교집합 할때

 

어떤 2개의 집합을 먼저 합집합 하거나 교집합 해도 상관 없다는 뜻입니다.

 

간단하게 괄호를 아무곳에 해도 상관 없다는 뜻입니다.

 

예를들어 합집합의 결합법칙은 다음과 같습니다.

 

( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C )

 

 

벤 다이어그램으로 확인해보겠습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

교집합의 결합법칙도 벤다이어그램을 통해 쉽게 확인할 수 있습니다.

 

( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )

 

 

 

 

 

 

집합의 결합법칙 ( The associative laws )   임의의 집합 A, B, C에 대해서   A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C   A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C

 

 

 

 

 

분배법칙은 괄호안의 연산과 괄호 밖의 연산이 다를때 쓰는 규칙으로 다음의 두가지가 있습니다.

 

A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )

 

A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )

 

 

마찬가지로 벤다이어그램을 이용해서 살펴보겠습니다.

 

A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )에서

 

등호 왼쪽인 A ∪ ( B ∩ C )을 벤다이어그램으로 그려보면 아래와 같습니다.

 

 

 

 

 

 

등호 오른쪽인 ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )을 벤다이어그램으로 그리면 아래와 같습니다.

 

 

 

 

 

 

 

벤 다이어 그램을 통해 등호가 성립함을 알 수 있습니다.

 

 

분배법칙 두번째도 벤다이어 그램을 이용해보면 쉽게 알수 있습니다.

 

 

집합의 분배법칙 ( The distributive laws )   임의의 집합 A, B, C에 대해서   A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )   A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )